Thành phố A dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông...

Thành phố A dự định xây một cây cầu bắc qua một con sông chảy qua hẻm núi. Hẻm núi có chiều ngang $80\text{ m,}$ một bên cao $40\text{ m}$ và một bên cao $30\text{ m}\text{.}$ Mô hình thiết kế của cây cầu được gắn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ bên dưới.

Mặt cầu $XY$ xuyên qua hẻm núi được mô hình hóa bằng phương trình: $y=\dfrac{1}{25600} x^3+a x+b$ với $a,\text{ }b$ là các số thực. Hai cáp treo $MN$ và $PQ$ (cùng song song với trục $Oy$) là đoạn nối giữa khung parabol và mặt cầu $XY.$ Biết rằng $N$ và $Q$ là hai điểm đối xứng qua trục $Oy$ và $MN$ là đoạn có độ dài lớn nhất.

a) $a=-\dfrac{3}{16},\text{ }b=35.$

b) Khung parabol có phương trình là $y=-\dfrac{3}{80}\left( {{x}^{2}}-1600 \right).$

c) Tổng độ dài hai đoạn cáp treo là $50,5\text{ m}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

d) Cho biết độ dài đường cong $y=f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ \alpha ;\beta \right]$ được tính theo công thức $l=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{\sqrt{1+{{\left[ {f}'\left( x \right) \right]}^{2}}}dx}.$ Phần khung parabol phía trên mặt cầu có chiều dài là $75,6\text{ m}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).