Câu hỏi đề thi

Một mảnh đất hình chữ nhật $ABCD$ có kích thước $40\,\text{m}\times 50\,\text{m}$ đang được người chủ trồng cỏ tự nhiên. Vào buổi sáng, khi mặt trời vừa lên, mảnh đất này bị một mái nhà xưởng gần đó chắn ánh sáng. Khi mặt trời lên cao hơn, ánh sáng đã chiếu từ từ lên mảnh đất. Ta xem ranh giới giữa phần được chiếu sáng và phần tối là các đường thẳng song song thay đổi.

Có thời điểm đường ranh giới này đi qua hai điểm $A,M$ như hình vẽ. Khi diện tích phần tối của mảnh đất bằng $75\,\,{{\text{m}}^{\text{2}}},$ người ta đo được tốc độ giảm ánh sáng trên cạnh $AD$ bằng $2\text{ cm/s}\text{.}$ Hỏi tốc độ giảm diện tích phần tối của mảnh đất là bao nhiêu ${{\text{m}}^{\text{2}}}\text{/s?}$ Kết quả được làm tròn đến hàng phần chục.

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong, đoạn dốc xuống $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có hệ số góc lần lượt là $-1,62$ và $-2,7.$ Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung đường cong tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q.$ Giả sử gốc toạ độ đặt tại $P$ và phương trình của cung đường cong là $y=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét.

Biết khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm $P$ và $Q$  là $40\text{ m}\text{.}$ Chênh lệch độ cao giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của ray tàu lượn giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là bao nhiêu mét?

Xét chuyển động của một tàu lượn trên đoạn đường ray có hình dạng một phần đồ thị hàm số $y=f(x)=\dfrac{135 x-x^2-x^3}{200}$ với $x \geq 0$, trong đó $x$ là khoảng cách theo phương ngang kẻ từ $A$ và $y$ là độ cao tương ứng của tàu lượn so với phương ngang $AB.$ Chọn hệ trục tọa độ $Oxy$ như hình vẽ (đơn vị trên mỗi trục là $10\text{ m,}$ kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

a) $AB=111\text{ m}\text{.}$

b) Hàm số $y=f\left( x \right)$ đạt cực trị tại điểm ${{x}_{0}}=\dfrac{\sqrt{406}-1}{3}.$

c) Tàu lượn đạt độ cao lớn nhất so với phương ngang $AB$ bằng $64\text{ m}\text{.}$

d) Tại thời điểm tàu lượn qua $A$ thì chuyển động tức thời của tàu lượn tạo với phương ngang $AB$ một góc $\alpha \approx 34^{\circ}$ (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

Anh A bơm nước vào một chiếc thùng nhựa đựng nước với hai đáy là hai hình chữ nhật, các cạnh bên bằng nhau và có kích thước (chỉ tính phần chứa nước) như hình vẽ với tốc độ bơm nước vào thùng là $20$ lít/phút. Mực nước trong thùng dâng lên với tốc độ (đơn vị: cm/phút) khi chiều cao mực nước trong thùng là $30\text{ cm}$ bằng bao nhiêu? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một cái ao hình dạng lăng trụ đứng tứ giác: sâu $2\text{ m,}$ đáy ao là hình chữ nhật kích thước $20\text{ m}\times 10\text{ m}$ và mặt ao là hình chữ nhật kích thước $\text{30 m}\times 10\text{ m}$ (tham khảo hình vẽ).

Nước được bơm vào ao với tốc độ là $720\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}\text{/h}\text{.}$ Mực nước trong ao dâng lên với tốc độ (đơn vị: cm/phút) khi chiều cao mực nước trong ao là $80\text{ cm}$ bằng bao nhiêu?

Một bể nước có hình dạng là một lăng trụ đứng tam giác dài 20 mét và hai đầu bể có hình tam giác cân, chiều rộng 7 mét và chiều cao 10 mét. Giả sử hai cạnh bằng nhau của tam giác là hai cạnh của bể nước, cạnh còn lại là đỉnh bể và song song với mặt đất. Nước được bơm vào bể với tốc độ $2\text{ }{{\text{m}}^{3}}/$phút.

Khi nước sâu 6 mét, tốc độ thay đổi của độ sâu nước là $\dfrac{1}{a}$ $\mathrm{m} /$phút. Giá trị của $a$ bằng bao nhiêu?

Cho một bể chứa nước có hình dạng là một lăng trụ đứng $AEFB.DHGC.$ Mặt đáy của lăng trụ là hình thang vuông $AEFB$ (vuông tại $A$ và $E$). Chiều dài của bể $AD=12\text{ m,}$ chiều rộng của mặt bể $AB=6\text{ m,}$ chiều rộng của đáy bể $EF=3\text{ m}$ và chiều cao bể $AE=4\text{ m}\text{.}$ Ban đầu bể không có nước (thời điểm $t=0$ giờ), nước bắt đầu được bơm vào bể với lưu lượng không đổi $Q=4\text{ }{{\text{m}}^{\text{3}}}/$giờ.

Giả sử mặt nước $\left( IKJL \right)$ luôn song song với mặt đáy $\left( HGFB \right)$ của bể (tham khảo hình vẽ). Tính tốc độ tăng chiều cao của mực nước tại thời điểm $t=18$ giờ (đơn vị: mét/giờ, kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Một bể nước hình nón (đỉnh của hình nón hướng xuống dưới) và đang rò rỉ nước với tốc độ $35 \mathrm{~cm}^3 / \mathrm{s}.$ Bán kính đáy của bể là 1 mét và chiều cao của bể là 2,5 mét. Khi chiều cao mực nước trong bể là 1,25 mét, tốc độ thay đổi của chiều cao mực nước trong bể là bao nhiêu $\text{cm/s?}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Người ta bơm xăng vào bình xăng của một chiếc xe ô tô. Biết thể tích $V$ (lít) của xăng được bơm vào bình phụ thuộc theo thời gian $t$ (phút) được cho bởi công thức: $V(t)=\dfrac{35}{4}\left(3 t-t^2+t^3\right)+4$ với $0\le t\le 1.$ Gọi ${V}'\left( t \right)$ là tốc độ bơm của xăng vào bình. Xác định thể tích của xăng trong bình (đơn vị: lít) tại thời điểm mà tốc độ bơm của xăng vào bình đạt giá trị nhỏ nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một bể cá hình hộp chữ nhật được đặt nằm ngang, một mặt bên của bể dài 10 dm và cao 8 dm. Khi ta nghiêng bể thì nước trong bể vừa đúng che phủ mặt bên nói trên và chỉ che phủ $\dfrac{3}{4}$ bề mặt đáy của bể (như hình vẽ). Hỏi khi ta đặt bể trở lại nằm ngang thì chiều cao $h$ của mực nước là bao nhiêu decimét?

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( x+2 \right)$ có đồ thị $C.$

a) $f\left( -1 \right)=0;\text{ }f\left( 1 \right)=\ln 3.$

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+2}.$

c) Gọi $M$ là điểm có hoành độ $x\text{ }\left( x>-2 \right)$ thuộc $C$ và điểm $N\left( 0;1 \right).$ Xét hàm số $h\left( x \right)=M{{N}^{2}}$ trên khoảng $\left( -2;+\infty \right).$ Khi đó \[{h}'\left( x \right)=\dfrac{2f\left( x \right)}{x+2}.\]

d) Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất khi hoành độ của $M$ là $\alpha $ thỏa mãn $\ln (\alpha +2)=1-2\alpha -{{\alpha }^{2}}.$

Một tên trộm đang cố gắng kéo thùng nữ trang qua một bức tường có độ dày $BC=1\,\,\text{m,}$ tường cao $4\text{ m}$ và sợi dây được kéo theo đường gấp khúc $ABCD$ có độ dài $20\text{ m,}$ đoạn $BF=0,5\,\,\text{m}\text{.}$ Trong khi kéo thì tên trộm luôn ghì đầu dây theo một thanh vịn cầu thang $AF$ hợp với phương ngang một góc bằng ${{30}^{\circ }}.$ Khi hai chú cảnh sát xuất hiện thì đầu dây $A$ cách $F$ $6\text{ m}$ và thùng $D$ tiến về phía $E$ với tốc độ $1\text{ m/s}\text{.}$ Hỏi đầu dây $A$ rời xa $F$ với tốc độ bao nhiêu $\text{m/s?}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$ có đồ thị $(C)$ và parabol $\left( P \right):y=k{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm với hoành độ thuộc đoạn $\left[ 1;3 \right].$

a) Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right).$

b) Giá trị cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$ bằng $-1.$

c) $0<k\le \dfrac{1}{4}.$

d) Giá trị lớn nhất của tổng tung độ ba giao điểm trên bằng $\dfrac{145}{64}.$

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong, đoạn dốc xuống $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có cùng hệ số góc. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung đường cong tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (hình vẽ).

Giả sử phương trình của cung đường cong là $f\left( x \right)=-0,1{{x}^{3}}+0,3{{x}^{2}}+0,9x,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $10$ mét. Biết khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm $P$ và $Q$  là $70\text{ m}\text{.}$

a) Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là ${f}'\left( x \right)=-0,3{{x}^{2}}+0,6x+0,9.$

b) Chênh lệch độ cao giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của ray tàu lượn giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là $22$ mét.

c) Hoành độ của hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ thỏa mãn ${{x}_{Q}}-{{x}_{P}}=7.$

d) Chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là $1,75$ mét.

Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+1}{cx+d}$ đạt cực đại tại $x=0$ và có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ.

a) Giá trị của $a+b+c+d$ bằng $0.$

b) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right).$

c) Gọi $A,\,B$ là các điểm cực trị của $\left( C \right)$ và $M$ là điểm di động trên trục $Ox$ sao cho góc $\widehat{AMB}$ không tù. Giá trị nhỏ nhất của hoành độ điểm $M$ là $3.$

d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $\left( C \right)$ có phương trình: $y=x-1.$

Một vật chuyển động. Quãng đường $s\left( t \right)$ (đơn vị: mét) vật đi được sau khoảng thời gian $t$ (đơn vị: giây), $t\ge 0$, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là $s\left( t \right)=a{{t}^{3}}+b{{t}^{2}}+ct+d$ có đồ thị như hình vẽ.

a) $d=0.$

b) $a=\dfrac{1}{6},\quad b=1,\quad c=2.$

c) Sau $18$ giây, vật đi được $684\text{ m}\text{.}$

d) Trong 10 giây đầu tiên, vật chuyển động nhanh dần kéo dài trong $6$ giây.

Một đường ray tàu lượn siêu tốc trong khu vui chơi giải trí có hình dáng được mô phỏng là một phần của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( 0\le x\le 90 \right),$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết đường ray xuất phát từ điểm $A$ đi qua các điểm $B$ và $C;$ đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất (trục $Ox$) là $6\text{ m}$ như hình vẽ.

a) $d=30.$

b) $f\left( x \right)=a\cdot x\left( x+50 \right)\left( x+80 \right)+30.$

c) $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=20.$

d) Độ cao lớn nhất của đường ray tàu lượn so với mặt đất lớn hơn $40\text{ m}\text{.}$

Một vật chuyển động trên trục $Ox$ (đơn vị trên trục là centimét) theo phương trình: $x(t)=8 \sin \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right),$ với $t$ là thời gian tính bằng giây $\left( {t \ge 0} \right),$ tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $x(t)$ tính bằng centimét.

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v(t)=8 \cos \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right).$
b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t$ là $a(t)=-16 \pi^2 \sin \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right).$

c) Tại thời điểm $t=5$ giây, vật đang chuyển động theo chiều dương của trục $Ox.$

d) Thời điểm vật đi qua gốc tọa độ $O$ lần thứ hai là $t=\dfrac{11 \sqrt{2}}{12}$ (giây).

Một hộp chứa 10 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). Bạn Nam lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi Nam lấy ra có màu xanh, bạn Việt sẽ lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp; còn nếu viên bi Nam lấy ra có màu đỏ, bạn Việt sẽ lấy ra ngẩu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để Nam lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu.

Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 14 m và chiều dài 30 m. Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là $1,2 \mathrm{~m}$ và tăng dần đều đến $2,0 \mathrm{~m}$ ở đầu kia của bể (xem hình vẽ).

Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là $42 \mathrm{~m}^3$ /giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm bơm đầy bể nước?