Câu hỏi đề thi

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}.$ Biết $f\left( -7 \right)<0$ và đồ thị ${f}'\left( x \right)$ như sauHàm số $g\left( x \right)=\left| 6f\left( -{{x}^{4}}+2{{x}^{2}}-7 \right)-4{{x}^{6}}+12{{x}^{2}} \right|$ có tối đa bao nhiêu điểm cực trị?

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2\,cm$, $AC=3\,cm$,$SB=SC=SD=2\,cm$. Gọi $M,\,N,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,SC,\,SD$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SMNP$ bằng

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c=-9$. Biết rằng đồ thị hàm số $f(x)=2{{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ (với $a,b,c$là các hằng số) đi qua gốc tọa độ và $\underset{\left( 0;2 \right)}{\mathop{\min }}\,f\left( x \right)=-7.$ Giá trị $M=\underset{\left[ -1;3 \right]}{\mathop{\max }}\,f\left( x \right)$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn ${f}'\left( 0 \right)=0,f\left( 0 \right)=\ln 2$ và $\left( 1-x \right)\left[ {f}''\left( x \right)+1 \right]={f}'\left( x \right)\left[ x{f}'\left( x \right)+2x-1 \right],\forall x\in \left[ 0;1 \right].$ Giá trị $f\left( 1 \right)$ gần với số nào sau nhất?

Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị $y=f(x)$ và $y={f}'(x)$ như hình vẽ:Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $\left[ 2;2024 \right]$ để bất phương trình ${{f}^{3}}\left( f(x)+m \right)+1\ge 4f(x)+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 1;+\infty \right)?$

Ông A trồng hoa cảnh trên khuôn viên đất ở trong vườn là phần hình phẳng giới hạn bởi hai đường parabol và hình chữ nhật có chiều rộng $6m$ và chiều dài $8m$ (phần tô đậm trong hình vẽ dưới), các đỉnh của parabol là điểm chính giữa các cạnh chiều dài hình chữ nhật. Biết chi phí trồng hoa cảnh xong là 500 000 đồng/ $1\,{{m}^{2}}.$ Tổng chi phí mà ông A phải trả để trồng xong vườn hoa cảnh là

Xét đường thẳng $\Delta $ bất kỳ cắt trục hoành tại điểm $A.$ Điểm $A$ chia đường thẳng $\Delta $ thành hai tia, trong đó gọi $Az$ là tia nằm phía trên trục hoành. Ký hiệu ${{\alpha }_{\Delta }}$ là số đo của góc $\widehat{xAz}$ (ta thường nói là góc giữa $\Delta $ và chiều dương trục $Ox$). Bài toán sau cho thấy ý nghĩa hình học của hệ số góc:

Cho đường thẳng $\Delta :y=ax+b,a\ne 0.$a) Chứng minh $\Delta $ cắt trục hoành tại điểm $A.$

b) Viết phương trình đường thẳng ${{\Delta }_{0}}$ đi qua $O(0;0)$ và song song hoặc trùng với $\Delta .$

c) Chỉ ra mối quan hệ giữa ${{\alpha }_{\Delta }}$ và ${{\alpha }_{{{\Delta }_{0}}}}.$

d) Gọi $M$ là giao điểm của ${{\Delta }_{0}}$ với nửa đường tròn đơn vị và ${{x}_{0}}$ là hoành độ điểm $M.$ Tính tung độ của $M$ theo ${{x}_{0}}$ và $a,$ từ đó chứng minh rằng $\tan {{\alpha }_{\Delta }}=a.$

e) Gọi $P({{x}_{P}};{{y}_{P}})$ và $Q({{x}_{Q}};{{y}_{Q}})$ là hai điểm phân biệt nằm trên $\Delta .$ Chứng minh $a=\dfrac{{{y}_{P}}-{{y}_{Q}}}{{{x}_{P}}-{{x}_{Q}}}.$

Trong không gian $Oxyz,$ cho khối đa diện $OAMEN$ có thể tích $296$ với các đỉnh $A\left( 0;0;8\sqrt{2} \right),\text{ }M\left( 5;0;0 \right),$ $N\left( 0;7;0 \right),\text{ }E\left( a;b;0 \right),$trong đó $a.b\ne 0.$ Khi $a,\text{ }b$ thay đổi thì đường thằng $AE$ luôn tiếp xúc với mặt cầu $\left( S \right):{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+{{z}^{2}}={{c}^{2}}.$ Mặt cầu $\left( S \right)$ có bán kính nhỏ nhất bằng

Có bao nhiêu số nguyên $x\in \left[ 1;2023 \right]$ sao cho ứng với mỗi $x$ thì mọi giá trị thực của $y$ đều thỏa mãn ${{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+2xy+2x+2y+2{{x}^{2}} \right)\le 1+{{\log }_{3}}\left( {{y}^{2}}+4y+7 \right){{\log }_{5}}\left( {{y}^{2}}+2y+5 \right)?$

Cho hàm số bậc ba $f\left( x \right)$ có đồ thị $y=f(x)$ và $y={f}'(x)$ như hình vẽ:Có bao nhiêu số nguyên $m$ thuộc $\left[ 2;2024 \right]$ để bất phương trình ${{f}^{3}}\left( f(x)+m \right)+1\ge 4f(x)+3m$ nghiệm đúng với mọi $x\in \left[ 1;+\infty \right)?$

Cho hàm số $f(x)={{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c$ (với $a,b,c$ là các tham số thực và $c\le 0$). Biết rằng hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered}\hfill f(x)=0 \\ \hfill f'(x)=0 \\ \end{gathered} \right.$ có nghiệm khác $0$ và hàm số $g(x)=\left| {{x}^{3}}+a{{x}^{2}}+bx+c \right|$ có $3$ điểm cực trị. Giá trị lớn nhất của biểu thức $P=a+b+c-{{b}^{2}}$ bằng

Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai liên tục trên $\left[ 0;\,1 \right]$ thỏa mãn ${f}'\left( 0 \right)=0,f\left( 0 \right)=\ln 2$ và $\left( 1-x \right)\left[ {f}''\left( x \right)+1 \right]={f}'\left( x \right)\left[ x{f}'\left( x \right)+2x-1 \right],\forall x\in \left[ 0;1 \right].$ Giá trị $f\left( 1 \right)$ gần với số nào sau nhất?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left( -1;2;1 \right),$$B\left( 1;0;2 \right),$$C\left( -2;2;4 \right)$. Mặt phẳng $\left( P \right)$ đi qua gốc tọa độ sao cho $A,\,B,\,C$ cùng phía với $\left( P \right)$. Khi $\left( P \right)$ có phương trình $-7x+my+nz=0$ thì biểu thức $T=d\left( A,\left( P \right) \right)+2d\left( B,\left( P \right) \right)+\,4d\left( C,\left( P \right) \right)$ lớn nhất. Tính $S=m+n$.

Cho hình trụ có độ dài đường sinh bằng $4$. Biết rằng tồn tại hai điểm$A$ và $B$ lần lượt nằm trên hai đường tròn đáy của hình trụ sao cho đường thẳng $AB$ tạo với trục của trụ một góc ${{45}^{0}}$, đồng thời khoảng cách giữa $AB$ và trục của hình trụ bằng $\sqrt{5}$. Diện tích xung quanh của hình trụ bằng

Cho số phức $z$ thỏa mãn $z.\overline{z}={{\left| z-1+i \right|}^{2}}$. Biết tập hợp điểm biểu diễn số phức $w=\left( 2+i \right)\overline{z}$ là đường thẳng $\Delta $. Khoảng cách từ điểm $O\left( 0;\,0 \right)$ đến đường thẳng $\Delta $ bằng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thoi cạnh bằng $2\,cm$, $AC=3\,cm$,$SB=SC=SD=2\,cm$. Gọi $M,\,N,\,P$ lần lượt là trung điểm của $SA,\,SC,\,SD$. Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện $SMNP$ bằng

Cho phương trình ${{4}^{x}}-{{2}^{x+1}}+m=0$ ($m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị $m$ để phương trình trên có nghiệm.

Cho hình lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có đáy $ABC$ là tam giác cân tại $A$. Hình chiếu vuông góc của $A'$ lên mặt phẳng $\left( ABC \right)$ trùng với trung điểm của $BC$. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng $AB$ và $B'C'$ bằng $a$, góc giữa đường thẳng $BB'$ và mặt đáy bằng ${{45}^{0}}$, $BC=2a.$ Thể tích khối lặng trụ $ABC.A'B'C'$ bằng

Cho $\int\limits_{1}^{e}{x\ln xdx=\dfrac{a}{b}{{e}^{2}}+\dfrac{c}{d}}$ ($a,\,c\in Z;\,b,\,d\in {{N}^{*}}$, $\dfrac{a}{b}$, $\dfrac{c}{d}$ là các phân số tối giản). Tổng $a+b+\,c+\,d$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left( P \right)$ qua hai điểm $A\left( 0;\,0;\,3 \right)$, $B\left( -3;\,0;\,0 \right)$ và vuông góc với mặt phẳng $\left( \alpha \right):2x+y-z+1=0$. Khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến $\left( P \right)$ bằng