Câu hỏi đề thi

Trên đường đua thẳng, một xe đua F1 bắt đầu chuyển động và tăng tốc với gia tốc $a\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}$ cho đến khi đạt vận tốc $80\text{ m/s}$ thì xe chuyển động đều trong thời gian $56$ giây, sau đó giảm vận tốc với gia tốc $-b\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}$ cho đến khi dừng lại ($a$ và $b$ là các số thực dương). Biết rằng tổng thời gian chuyển động của xe trong quá trình này là $74$ giây.

a) Thời điểm xe đạt vận tốc $80\text{ m/s}$ kể từ lúc bắt đầu chuyển động là ${{t}_{1}}=\dfrac{80}{a}$ (giây).

b) Quãng đường xe chuyển động đều là $4,5\text{ km}\text{.}$

c) $\dfrac{40}{a}+\dfrac{40}{b}=9.$

d) Quãng đường xe đi được trong quá trình này là $5\text{ }200\text{ m}\text{.}$

Trong không gian $Oxyz,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Một người ở trong một căn phòng, mắt đặt tại vị trí $A\left( 1;2;3 \right)$ nhìn ra ngoài khu vườn để ngắm bông hoa ở vị trí $M\left( -1;1;1 \right)$ qua một khung cửa sổ có dạng hình tròn tâm $O\left( 0;0;0 \right),$ bán kính $2$ và thuộc mặt phẳng $\left( Oyz \right).$

a) Phương trình đường thẳng $AM$ là $\dfrac{x+1}{2}=\dfrac{y+2}{1}=\dfrac{z+3}{2}.$

b) Tọa độ giao điểm của đường thẳng $AM$ và mặt phẳng $\left( Oyz \right)$ là $N\left( 0;-\dfrac{3}{2};-2 \right).$

c) Qua khung cửa sổ, người này có thể nhìn thấy bông hoa ở vị trí $M.$

d) Vị trí $E$ trên khung cửa sổ, cách vị trí $A$ một khoảng xa nhất là $5,7\text{ m}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Coi bề mặt trái đất là mặt cầu có bán kính $6\text{ 371 km}\text{.}$ Giả sử tại một thời điểm, vị trí $M$ của một thiết bị GPS trên mặt đất và bốn vệ tinh $A,\text{ }B,\text{ }C,\text{ }D$ là các đỉnh của một hình hộp chữ nhật với các cạnh $MA,\text{ }MB,\text{ }MC$ và đường chéo $MD.$ Biết khoảng cách từ ba vệ tinh $A,\text{ }B,\text{ }C$ đến mặt đất cùng là $19\text{ }113\text{ km}\text{.}$ Hỏi khoảng cách từ vệ tinh $D$ đến mặt đất là bao nhiêu ki-lô-mét (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, khoảng cách từ vệ tinh đến mặt đất được hiểu là khoảng cách ngắn nhất giữa vệ tinh và một điểm trên bề mặt trái đất)?

Có $3$ hộp đựng bi: hộp I có $6$ bi đỏ và $4$ bi trắng; hộp II có $4$ bi đỏ và $6$ bi trắng; hộp III có $5$ bi đỏ và $5$ bi trắng. Lấy ra ngẫu nhiên $1$ viên bi từ hộp I và $1$ viên bi từ hộp II rồi bỏ $2$ viên bi này vào hộp III. Sau đó từ hộp III lấy ra ngẫu nhiên $2$ viên bi. Biết rằng $2$ viên bi lấy ra từ hộp III có đủ cả hai màu, xác suất để các viên bi đó là viên bi được chuyển từ hộp I và hộp II sang hộp III là $\dfrac{p}{q}$ với $p,\text{ }q$ là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Tìm $p+q.$

Một thùng chứa dầu có thiết diện ngang (mặt cắt trong của thùng) là một hình elip có độ dài trục lớn $2\text{ m,}$ độ dài trục nhỏ $\text{1 m}$ và chiều dài mặt trong của thùng là $\text{8 m}\text{.}$ Thùng được đặt sao cho trục bé của elip nằm theo phương thẳng đứng (hình vẽ).

Ban đầu thùng không có dầu, dầu được bơm vào thùng với tốc độ $\text{1 }{{\text{m}}^{\text{3}}}$ mỗi phút. Vào lúc mực dầu trong thùng (tính từ điểm thấp nhất của đáy thùng đến mặt dầu) là $\text{0,8 m}$ thì mực dầu trong thùng dâng lên với tốc độ bao nhiêu centimét/phút? (làn tròn kết quả đến hàng phần chục).

Xét các đường đi, đi theo các đoạn thẳng từ góc dưới bên trái đến góc trên bên phải trên lưới ô vuông $8\times 8$ (hình vẽ). Hỏi có bao nhiêu đường đi như vậy biết chúng đổi hướng đúng bốn lần?

Một doanh nghiệp dự định sản xuất $x$ sản phẩm $(1 \leq x \leq 180)$ và xác định giá bán của mỗi sản phẩm là $f\left( x \right)=35840-192x$ (nghìn đồng). Chi phí sản xuất bình quân cho một sản phẩm là $g\left( x \right)=25,6{{x}^{2}}-153,6x+3072+\dfrac{19200}{x}$ (nghìn đồng). Biết rằng mức thuế trên một sản phẩm này là $512$ nghìn đồng và sản phẩm doanh nghiệp sản xuất ra sẽ được tiêu thụ hết. Hỏi doanh nghiệp cần sản xuất bao nhiêu sản phẩm để lợi nhuận sau thuế thu được là lớn nhất?

Trên mặt đất phẳng, người ta dựng một cây cột $AB$ có chiều dài $10\text{ m}$ và tạo với mặt đất góc $80^{\circ}.$ Tại một thời điểm dưới ánh sáng mặt trời, bóng $BC$ của cây cột trên mặt đất dài $12\text{ m}$ vào tạo với cây cột góc $120^{\circ}$ (tức $\widehat{A B C}=120^{\circ}$). Góc giữa mặt đất và đường thẳng chứa tia sáng mặt trời tại thời điểm nói trên là bao nhiêu độ? (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Cho hàm số $f\left( x \right)=x-{{5}^{3-x}}.$

a) $f\left( 0 \right)=-125;\text{ }f\left( 3 \right)=3.$

b) Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}.$

c) Gọi $k$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right)=0$ thì $k\in \left( 2;3 \right).$

d) Xét hàm số $g\left( x \right)$ xác định trên toàn bộ tập số thực thỏa mãn \[g\left( g\left( x \right) \right)=3x,\text{ }\forall x\in \mathbb{R}\] và $g\left( x \right)={{\left( \dfrac{1}{5} \right)}^{x-3}},\text{ }\forall x>k.$ Giá trị của \[g\left( \dfrac{1}{{{k}^{3}}\cdot {{5}^{3k}}} \right)\] là $36.$

Tại một phòng khám chuyên khoa tỷ lệ người đến khám có bệnh là $80\%.$ Người ta áp dụng một phương pháp chẩn đoán mới thì thấy: nếu chuẩn đoán có bệnh thì đúng $9$ trên $10$ trường hợp, còn nếu chuẩn đoán không có bệnh thì đúng $5$ trên $10$ trường hợp. Gọi $A$ là biến cố người đến khám có bệnh. Gọi $B$ là biến cố người đến khám được chuẩn đoán có bệnh.

a) $P\left( A \right)=0,8$ và $P\left( \overline{A} \right)=0,2.$

b) $P\left( A|B \right)=0,9$ và $P\left( \overline{A}|\overline{B} \right)=0,5.$

c) Xác suất chuẩn đoán có bệnh là $75\%.$

d) Phòng khám chuyên khoa này có tỷ lệ chuẩn đoán đúng là $80\%.$

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là kilômét), mặt phẳng $\left( Oxy \right)$ trùng với mặt đất, một máy bay đang ở vị trí $A(3,5 ;-2 ; 0,4)$ và sẽ hạ cánh ở vị trí $B(3,5 ; 5,5 ; 0)$ trên đường băng $EG$ (hình vẽ).

a) Phương trình đường thẳng $AB$ là $\left\{ \begin{gathered}
x = 3,5 \hfill \\
y = - 2 + 7,5t \hfill \\
z = 0,4 - 0,4t \hfill \\
\end{gathered} \right..$

b) Góc trượt (góc giữa đường bay $AB$ và mặt đất) nằm trong phạm vi cho phép từ $2,5^{\circ}$ đến $3,{{5}^{{}^\circ }}.$

c) Có một lớp mây được mô phỏng bởi một mặt phẳng đi qua ba điểm $M(5;0;0),N(0;-5;0),P(0;0;0,5).$ Tọạ độ của điểm $C\left( \dfrac{7}{2};\dfrac{43}{46};\dfrac{28}{115} \right)$ là vị trí mà máy bay xuyên qua đám mây để hạ cánh.

d) Theo quy định an toàn bay, người phi công phải nhìn thấy điểm đầu $E(3,5 ; 4,5 ; 0)$ của đường băng ở độ cao tối thiểu là $120\text{ m}\text{.}$ Vậy nếu tầm nhìn của người phi công sau khi ra khỏi đám mây là $900\text{ m}$ thì người phi công đó đạt được quy định an toàn bay.

Vị trí của điểm $P$ chuyển động trên trục $Ox$ (đơn vị trên trục tính bằng mét) tại thời điểm $t$ (giây) $\left( t\ge 0 \right)$ kể từ lúc bắt đầu chuyển động là

\[x\left( t \right)={{t}^{3}}-\dfrac{3}{2}{{t}^{2}}-6t.\]

a) Vận tốc $v\left( t \right)$ của điểm $P$ tại thời điểm $t$ (giây) $\left( t\ge 0 \right)$ là $v\left( t \right)=3{{t}^{2}}-3t-6\text{ }\left( \text{m/s} \right).$

b) Độ dịch chuyển của $P$ trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 4$ là \[36\text{ m}\text{.}\]

c) Quãng đường của $P$ đi được trong khoảng thời gian $1 \leq t \leq 4$ là \[16\text{ m}\text{.}\]

d) Gia tốc của $P$ tại thời điểm hướng chuyển động của $P$ thay đổi sau khi khởi hành là $9\text{ m/}{{\text{s}}^{2}}.$

Một chiếc đèn tròn được treo song song với mặt phẳng nằm ngang bởi ba sợi dây không dãn xuất phát từ điểm $O$ trên trần nhà và lần lượt buộc vào ba điểm $A,\text{ }B,\text{ }C$ trên đèn tròn sao cho các lực căng $\overrightarrow {{F_1}} ,{\text{ }}\overrightarrow {{F_2}} ,{\text{ }}\overrightarrow {{F_3}} $ lần lượt trên mỗi dây $OA,\text{ }OB,\text{ }OC$ đôi một vuông góc với nhau và $\left| {{{\vec{F}}}_{1}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{2}} \right|=\left| {{{\vec{F}}}_{3}} \right|=15\text{ N}\text{.}$

Gọi $\overrightarrow{P}$ là trọng lực tác dụng lên đèn. Khẳng định nào dưới đây đúng?

Cho hình lăng trụ đứng $ABC.{A}'{B}'{C}'$ có $AB=5,BC=6,CA=7.$ Khoảng cách giữa hai đường thẳng $A{A}'$ và $BC$ là

Trong một hoạt động thiện nguyện, các bạn học sinh lớp 12A đã tiến hành tặng sách cho các trẻ em vùng khó khăn. Kết quả hoạt động được ghi nhận ở bảng sau:

Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là

Cho hai hàm số $f\left( x \right)$ và $F\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn ${F}'\left( x \right)=f\left( x \right),\text{ }\forall x\in \mathbb{R}.$ Nếu $F\left( 0 \right)=2,\text{ }F\left( 1 \right)=9$ thì khẳng định nào sau đây đúng?

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)={{x}^{\dfrac{3}{2}}}?$

Cho hàm số $y=\dfrac{ax+b}{cx+d}$ có đồ thị là đường cong trong hình vẽ bên dướiTọa độ giao điểm của đồ thị hàm số đã cho với trục hoành là

Cho hàm số $y=f\left( x \right)$ liên tục trên $\mathbb{R},$ có bảng biến thiên như hình bên.Hàm số đã cho đạt cực đại tại điểm

Cho cấp số cộng $\left( {{u}_{n}} \right)$ có ${{u}_{1}}=3;\text{ }{{u}_{3}}=7.$ Công sai cấp số cộng đã cho bằng