Câu hỏi đề thi

Cho đồ thị $\left( C \right):y=\dfrac{x+2}{x-1}$. Gọi $A,\ B,\ C$ là ba điểm phân biệt thuộc $\left( C \right)$ sao cho trực tâm $H$ của tam giác \[ABC\] thuộc đường thẳng $\Delta :y=-3x+10$. Độ dài đoạn thẳng $OH$ bằng

Biết ba địa điểm A, B, C lập thành một tam giác vuông tại B, khoảng cách từ B đến C là $\sqrt{5}km,$ khoảng cách từ B đến A là $6km.$ Cần xây dựng một kho hàng tại vị trí điểm D trên đoạn thẳng AB. Giả sử chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng đi thẳng từ A đến D là 400 nghìn đồng/km và từ C đến D là 600 nghìn đồng/km. Vị trí điểm D cần cách điểm A bao nhiêu để chi phí vận chuyển cho một đơn vị hàng (thẳng từ A đến D rồi thẳng đến C) là nhỏ nhất.

Cho bốn tia Oa, Ob, Oc, Od sao cho góc tạo thành giữa chúng đôi một bằng nhau và khác 0⁰. Tia thứ năm Ot tạo với các tia Oa, Ob, Oc, Od lần lượt các góc ${{\alpha }_{1}},{{\alpha }_{2}},{{\alpha }_{3}},{{\alpha }_{4}}.$ Chứng minh rằng $\cos {{\alpha }_{1}}+\cos {{\alpha }_{2}}+\cos {{\alpha }_{3}}+\cos {{\alpha }_{4}}=0.$

Cho tứ diện $ABCD,$ các điểm $M,N,P,Q$ lần lượt thuộc các đường thẳng $AB,BC,CD,DA$ sao cho $\overrightarrow{MA}=k\overrightarrow{MB},\overrightarrow{NB}=k\overrightarrow{NC},\overrightarrow{PC}=k\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QD}=k\overrightarrow{QA}.$ Với giá trị nào của $k$ để bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng?

Cho hình chóp $S.ABC.$ Trên các cạnh $SA,SB,SC$ lần lượt lấy các điểm ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}.$ Gọi $M$ là điểm chung của các mặt phẳng $\left( AB{{C}_{1}} \right),\left( BC{{A}_{1}} \right),\left( CA{{B}_{1}} \right).$ Đường thẳng $SM$ cắt các mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right),\left( ABC \right)$ lần lượt tại ${{M}_{1}}$ và ${{M}_{2}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{SM}{S{{M}_{1}}}=3\dfrac{M{{M}_{2}}}{{{M}_{1}}{{M}_{2}}}.$

Cho tứ diện $ABCD.$ Trên các đường thẳng $AB,AC,AD$ lần lượt lấy các điểm ${{B}_{1}},{{C}_{1}},{{D}_{1}}$ sao cho $\overrightarrow{AB}=\alpha \overrightarrow{A{{B}_{1}}},\overrightarrow{AC}=\beta \overrightarrow{A{{C}_{1}}},\overrightarrow{AD}=\gamma \overrightarrow{A{{D}_{1}}}.$

a) Chứng minh rằng nếu \[\alpha +\beta +1=\gamma \] thì mặt phẳng $\left( {{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ luôn đi qua một điểm cố đinh, xác định điểm cố định đó.

b) Chứng minh rằng nếu $\alpha =\beta -1=\gamma -2$ thì mặt phẳng $\left( {{B}_{1}}{{C}_{1}}{{D}_{1}} \right)$ luôn đi qua một đường thẳng cố định, xác định đường thẳng cố định đó.

Cho ba tia Oa, Ob, Oc không đồng phẳng. Đặt $\alpha =\widehat{aOb},\beta =\widehat{bOc},\gamma =\widehat{cOa}.$

a) Chứng minh rằng $\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma >-\dfrac{3}{2}.$

b) Gọi $O{{a}_{1}},O{{b}_{1}},O{{c}_{1}}$ lần lượt là các tia phân giác của $\widehat{aOb},\widehat{bOc},\widehat{cOa}.$ Chứng minh rằng nếu $O{{a}_{1}}\bot O{{b}_{1}}$ thì $O{{b}_{1}}\bot O{{c}_{1}},O{{c}_{1}}\bot O{{a}_{1}}.$

Cho tứ diện $ABCD,$ các điểm $M,N$ lần lượt là trung điểm của $AB,CD.$ Gọi $P,Q$ là các điểm lần lượt thuộc $AD$ và $BC$ sao cho $\overrightarrow{PA}=k\overrightarrow{PD},\overrightarrow{QB}=k\overrightarrow{QC},\left( k\ne 1 \right).$ Chứng minh rằng bốn điểm $M,N,P,Q$ đồng phẳng.

Cho tứ diện $SABC$ có $SA=SB=SC=1.$ Mặt phẳng $\left( P \right)$ thay đổi qua trọng tâm của tứ diện và cắt $SA,SB,SC$ lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{1}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}}=4,$ từ đó tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $T=\dfrac{1}{S{{A}_{1}}.S{{B}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{B}_{1}}.S{{C}_{1}}}+\dfrac{1}{S{{C}_{1}}.S{{A}_{1}}}.$

Cho hình chóp $S.ABC,$ xét mặt phẳng $\left( P \right)$ cắt các tia $SA,SB,SC,SG$ (với $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$) lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}},{{G}_{1}}.$ Chứng minh rằng $\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}=3\dfrac{SG}{S{{G}_{1}}}.$

Biết $F\left( x \right)$ và $G\left( x \right)$ là hai nguyên hàm của hàm số $f\left( x \right)$ trên $\mathbb{R}$ và $\int\limits_{0}^{4}{f\left( x \right)dx}=F\left( 4 \right)-G\left( 0 \right)+a$ $\left( a>0 \right).$ Gọi $S$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=F\left( x \right),$ $y=G\left( x \right),$ $x=0$ và $x=4.$ Khi $S=8$ thì $a$ bằng

Cho khối lăng trụ tứ giác có đáy là một tứ giác nội tiếp có độ dài các cạnh bằng $1,2,3,4.$ Cạnh bên của khối lăng trụ có độ dài bằng $5$ và tạo với mặt phẳng đáy một góc ${{45}^{o}}$. Khi đó thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng

Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin và cos, xét các hàm số: ${{f}_{i}}\left( x \right)=\sin \left( ix \right);{{g}_{i}}\left( x \right)=\cos \left( ix \right),i=1,2,...,n.$ Chứng minh rằng các hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right),...,{{f}_{n}}\left( x \right),{{g}_{1}}\left( x \right),{{g}_{2}}\left( x \right),...,{{g}_{n}}\left( x \right)$ độc lập tuyến tính trong V.

Trong không gian véctơ V gồm các hàm số dạng $y=\alpha {{\left( x+\beta \right)}^{-1}},\left( \alpha ,\beta \in \mathbb{R};\alpha \ne 0 \right),$ xét các hàm số: ${{f}_{i}}\left( x \right)=\dfrac{1}{x+i},i=1,2,...,n.$ Chứng minh rằng các hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right),...,{{f}_{n}}\left( x \right)$ độc lập tuyến tính trong V.

Trong không gian véctơ V gồm các hàm số sin, xét các hàm số:

${{f}_{i}}\left( x \right)=\sin \left( ix \right);{{g}_{i}}\left( x \right)=\sin \left| x-i\pi \right|,i=1,2,3.$ Chứng minh rằng

a) Các hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right),{{f}_{3}}\left( x \right)$ độc lập tuyến tính trong V.

b) Các hàm số ${{f}_{1}}\left( x \right),{{f}_{2}}\left( x \right),{{f}_{3}}\left( x \right),{{g}_{1}}\left( x \right),{{g}_{2}}\left( x \right),{{g}_{3}}\left( x \right)$ độc lập tuyến tính trong V.

Trong không gian véctơ V các đa thức hệ số thực có bậc không vượt quá 3 và cả đa thức 0. Xét hệ véctơ $S=\left\{ {{p}_{1}}\left( x \right),{{p}_{2}}\left( x \right),{{p}_{3}}\left( x \right),{{p}_{4}}\left( x \right) \right\}$

trong đó ${{p}_{1}}\left( x \right)=1;{{p}_{2}}\left( x \right)=x-1;{{p}_{3}}\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right);{{p}_{4}}\left( x \right)=\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)\left( x-3 \right).$

a) Chứng minh rằng $S$ độc lập tuyến tính

b) Xét $p\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+bx+2023$ với $a,b$ là các số nguyên. Khi biểu diễn tuyến tính $p\left( x \right)$ qua các véctơ trong $S$ ta được

$p\left( x \right)={{m}_{1}}{{p}_{1}}\left( x \right)+{{m}_{2}}{{p}_{2}}\left( x \right)+{{m}_{3}}{{p}_{3}}\left( x \right)+{{m}_{4}}{{p}_{4}}\left( x \right).$

Chứng minh rằng ${{m}_{2}}+2{{m}_{3}}+2{{m}_{4}}$ là một số nguyên chia hết cho 3.

Trong không gian cho 3 tia $Ox,Oy,Oz$ thoả mãn $\widehat{xOy}={{60}^{0}},\widehat{yOz}={{90}^{0}},\widehat{zOx}={{120}^{0}}.$ Trên 3 tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt lấy 3 điểm $A,B,C$ khác $O$ sao cho $\dfrac{1}{OA}+\dfrac{1}{OB}+\dfrac{1}{OC}=1.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $(ABC)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Xét mặt phẳng thay đổi cắt ba cạnh $SA,SB,SC$ của hình chóp $S.ABC$ lần lượt tại ${{A}_{1}},{{B}_{1}},{{C}_{1}}$ sao cho $\dfrac{SA}{S{{A}_{1}}}+2\dfrac{SB}{S{{B}_{1}}}+\dfrac{SC}{S{{C}_{1}}}=8.$ Chứng minh rằng mặt phẳng $\left( {{A}_{1}}{{B}_{1}}{{C}_{1}} \right)$ luôn đi qua một điểm cố định.

Giải và biện luận hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} x + 2y + mz = a \hfill \\ 2x - 7y + \left( {m - 1} \right)z = 1 \hfill \\ - 4x + y - mz = b \hfill \\ \end{gathered} \right.$ theo các tham số $a,b$ và $m.$

Cho ma trận $A$ vuông cấp $n$ thoả mãn ${{A}^{3}}+13{{A}^{2}}+36A-3E=0.$ Chứng minh rằng ma trận $X=A+9E$ khả nghịch và tìm ma trận nghịch đảo ${{X}^{-1}}$ của nó theo $A.$