Câu hỏi đề thi

Một bể cá hình hộp chữ nhật được đặt nằm ngang, một mặt bên của bể dài 10 dm và cao 8 dm. Khi ta nghiêng bể thì nước trong bể vừa đúng che phủ mặt bên nói trên và chỉ che phủ $\dfrac{3}{4}$ bề mặt đáy của bể (như hình vẽ). Hỏi khi ta đặt bể trở lại nằm ngang thì chiều cao $h$ của mực nước là bao nhiêu decimét?

Cho hàm số $f\left( x \right)=\ln \left( x+2 \right)$ có đồ thị $C.$

a) $f\left( -1 \right)=0;\text{ }f\left( 1 \right)=\ln 3.$

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là ${f}'\left( x \right)=\dfrac{1}{x+2}.$

c) Gọi $M$ là điểm có hoành độ $x\text{ }\left( x>-2 \right)$ thuộc $C$ và điểm $N\left( 0;1 \right).$ Xét hàm số $h\left( x \right)=M{{N}^{2}}$ trên khoảng $\left( -2;+\infty \right).$ Khi đó \[{h}'\left( x \right)=\dfrac{2f\left( x \right)}{x+2}.\]

d) Độ dài đoạn thẳng $MN$ ngắn nhất khi hoành độ của $M$ là $\alpha $ thỏa mãn $\ln (\alpha +2)=1-2\alpha -{{\alpha }^{2}}.$

Một tên trộm đang cố gắng kéo thùng nữ trang qua một bức tường có độ dày $BC=1\,\,\text{m,}$ tường cao $4\text{ m}$ và sợi dây được kéo theo đường gấp khúc $ABCD$ có độ dài $20\text{ m,}$ đoạn $BF=0,5\,\,\text{m}\text{.}$ Trong khi kéo thì tên trộm luôn ghì đầu dây theo một thanh vịn cầu thang $AF$ hợp với phương ngang một góc bằng ${{30}^{\circ }}.$ Khi hai chú cảnh sát xuất hiện thì đầu dây $A$ cách $F$ $6\text{ m}$ và thùng $D$ tiến về phía $E$ với tốc độ $1\text{ m/s}\text{.}$ Hỏi đầu dây $A$ rời xa $F$ với tốc độ bao nhiêu $\text{m/s?}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Cho hàm số $f\left( x \right)={{x}^{3}}-3{{x}^{2}}+3$ có đồ thị $(C)$ và parabol $\left( P \right):y=k{{\left( x+1 \right)}^{2}}-1$ cắt $(C)$ tại ba điểm phân biệt sao cho có ít nhất một điểm với hoành độ thuộc đoạn $\left[ 1;3 \right].$

a) Hàm số $f\left( x \right)$ nghịch biến trên khoảng $\left( 0;2 \right).$

b) Giá trị cực tiểu của hàm số $f\left( x \right)$ bằng $-1.$

c) $0<k\le \dfrac{1}{4}.$

d) Giá trị lớn nhất của tổng tung độ ba giao điểm trên bằng $\dfrac{145}{64}.$

Một kĩ sư thiết kế một đường ray tàu lượn, mà mặt cắt của nó gồm một cung đường cong, đoạn dốc xuống $L_1$ và đoạn dốc xuống $L_2$ là những phần đường thẳng có cùng hệ số góc. Để tàu lượn chạy êm và không bị đổi hướng đột ngột, $L_1$ và $L_2$ phải là những tiếp tuyến của cung đường cong tại các điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ (hình vẽ).

Giả sử phương trình của cung đường cong là $f\left( x \right)=-0,1{{x}^{3}}+0,3{{x}^{2}}+0,9x,$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là $10$ mét. Biết khoảng cách theo phương ngang giữa hai điểm $P$ và $Q$  là $70\text{ m}\text{.}$

a) Đạo hàm của hàm số $f\left( x \right)$ là ${f}'\left( x \right)=-0,3{{x}^{2}}+0,6x+0,9.$

b) Chênh lệch độ cao giữa điểm cao nhất và điểm thấp nhất của ray tàu lượn giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là $22$ mét.

c) Hoành độ của hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ thỏa mãn ${{x}_{Q}}-{{x}_{P}}=7.$

d) Chênh lệch độ cao giữa hai điểm chuyển tiếp $P$ và $Q$ là $1,75$ mét.

Cho hàm số $f\left( x \right)=\dfrac{a{{x}^{2}}+bx+1}{cx+d}$ đạt cực đại tại $x=0$ và có đồ thị $\left( C \right)$ như hình vẽ.

a) Giá trị của $a+b+c+d$ bằng $0.$

b) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;0 \right).$

c) Gọi $A,\,B$ là các điểm cực trị của $\left( C \right)$ và $M$ là điểm di động trên trục $Ox$ sao cho góc $\widehat{AMB}$ không tù. Giá trị nhỏ nhất của hoành độ điểm $M$ là $3.$

d) Đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của $\left( C \right)$ có phương trình: $y=x-1.$

Một vật chuyển động. Quãng đường $s\left( t \right)$ (đơn vị: mét) vật đi được sau khoảng thời gian $t$ (đơn vị: giây), $t\ge 0$, kể từ lúc bắt đầu chuyển động là $s\left( t \right)=a{{t}^{3}}+b{{t}^{2}}+ct+d$ có đồ thị như hình vẽ.

a) $d=0.$

b) $a=\dfrac{1}{6},\quad b=1,\quad c=2.$

c) Sau $18$ giây, vật đi được $684\text{ m}\text{.}$

d) Trong 10 giây đầu tiên, vật chuyển động nhanh dần kéo dài trong $6$ giây.

Một đường ray tàu lượn siêu tốc trong khu vui chơi giải trí có hình dáng được mô phỏng là một phần của đồ thị hàm số $f\left( x \right)=a{{x}^{3}}+b{{x}^{2}}+cx+d\text{ }\left( 0\le x\le 90 \right),$ đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét. Biết đường ray xuất phát từ điểm $A$ đi qua các điểm $B$ và $C;$ đồng thời đạt độ cao nhỏ nhất so với mặt đất (trục $Ox$) là $6\text{ m}$ như hình vẽ.

a) $d=30.$

b) $f\left( x \right)=a\cdot x\left( x+50 \right)\left( x+80 \right)+30.$

c) $f\left( x \right)$ đạt cực tiểu tại điểm $x=20.$

d) Độ cao lớn nhất của đường ray tàu lượn so với mặt đất lớn hơn $40\text{ m}\text{.}$

Một vật chuyển động trên trục $Ox$ (đơn vị trên trục là centimét) theo phương trình: $x(t)=8 \sin \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right),$ với $t$ là thời gian tính bằng giây $\left( {t \ge 0} \right),$ tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động và $x(t)$ tính bằng centimét.

a) Vận tốc của vật tại thời điểm $t$ là $v(t)=8 \cos \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right).$
b) Gia tốc của vật tại thời điểm $t$ là $a(t)=-16 \pi^2 \sin \left(\sqrt{2} \pi t+\dfrac{\pi}{6}\right).$

c) Tại thời điểm $t=5$ giây, vật đang chuyển động theo chiều dương của trục $Ox.$

d) Thời điểm vật đi qua gốc tọa độ $O$ lần thứ hai là $t=\dfrac{11 \sqrt{2}}{12}$ (giây).

Một hộp chứa 10 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ (các viên bi có cùng kích thước và khối lượng). Bạn Nam lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp, xem màu, rồi bỏ ra ngoài. Nếu viên bi Nam lấy ra có màu xanh, bạn Việt sẽ lấy ra ngẫu nhiên đồng thời 2 viên bi từ hộp; còn nếu viên bi Nam lấy ra có màu đỏ, bạn Việt sẽ lấy ra ngẩu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp. Tính xác suất để Nam lấy được viên bi màu xanh, biết rằng tất cả các viên bi được hai bạn chọn ra đều có đủ cả hai màu.

Một bể bơi với mặt nước khi đầy có dạng hình chữ nhật với chiều rộng 14 m và chiều dài 30 m. Các thành bể xung quanh thẳng đứng và đáy là một mặt phẳng nghiêng. Chiều sâu tại một đầu bể là $1,2 \mathrm{~m}$ và tăng dần đều đến $2,0 \mathrm{~m}$ ở đầu kia của bể (xem hình vẽ).

Ban đầu bể không chứa nước. Người ta sử dụng một máy bơm công suất lớn để bơm nước vào bể với tốc độ không đổi là $42 \mathrm{~m}^3$ /giờ. Hỏi sau bao nhiêu giờ thì máy bơm bơm đầy bể nước?

Mặt hồ bơi ở một trung tâm dạy bơi có dạng hình chữ nhật có kích thước chiều dài và chiều rộng lần lượt là 25 m và 12 m. Độ sâu ở hai đầu hồ bơi (tính theo chiều dài của hồ bơi) lần lượt là 1,2 m và 1,8 m (xem hình minh họa). Ban đầu trong hồ không có nước, người ta bơm nước vào hồ với tốc độ 1 mét khối mỗi phút.Giả sử đường ống dùng để bơm nước bị hỏng, nên trong quá trình bơm nước vào hồ, lượng nước bị rò rỉ đều đặn 120 lít nước mỗi giờ. Tính thời gian tối thiểu (đơn vị: giờ) để bơm nước đầy hồ (làm tròn đến hàng phần trăm).

Cho 25 điểm phân biệt trong không gian, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng, có 15 điểm đồng phẳng trên mặt phẳng (P) và không có 4 điểm không cùng nằm trong mặt phẳng (P) mà đồng phẳng. Có bao nhiêu mặt phẳng phân biệt đi qua 3 điểm trong số các điểm đó?

Vào một dịp lễ hội bắn pháo hoa được tổ chức tại thành phố Đà Nẵng, người ta bố trí hai ông bắn pháo hoa $A$ và $B$ được đặt trong hai mặt phẳng song song với nhau, cùng vuông với mặt đất và cách nhau 2 m. Ống bắn $A$ đặt nghiêng so với mặt đất một góc $80^{\circ}$ và ống bắn $B$ đặt nghiêng so với mặt đất một góc $70^{\circ}.$ Hai pháo tại hai ống bắn $A$ và $B$ được bắn đồng thời, cùng hướng về phía khán đài (khán đài nằm trong mặt phẳng vuông góc với các mặt phẳng đặt ống pháo) và cùng đi được quãng đường 100 m thì nổ. Giả sử hai quả pháo được bắn ra di chuyển theo đường thẳng với tốc độ bay như nhau, tính khoảng cách giữa hai vị trí nổ của hai quả pháo đó (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Mực nước trong hồ chứa của nhà máy điện thuỷ triều thay đổi trong suốt một ngày do nước chảy ra (khi thuỷ triều xuống) và nước chảy vào (khi thuỷ triều lên). Tốc độ thay đổi của mực nước trong hồ chứa theo thời gian $t$ tính bằng giờ $\left( 0\le t\le 24 \right),$ được cho bởi hàm số: \[{h}'\left( t \right)=\dfrac{1}{216}\left( 5{{t}^{2}}-120t+480 \right)\] (tính bằng mét/giờ). Tại thời điểm $t=0,$ mực nước trong hồ chứa là $6\text{ m}\text{.}$

a) $h\left( 0 \right)=6\text{ m}\text{.}$

b) \[h\left( t \right)=\dfrac{5}{648}{{t}^{3}}-\dfrac{5}{18}{{t}^{2}}+\dfrac{20}{9}t+C\] với $C$ là một hằng số xác định.

c) Mực nước trong hồ tại thời điểm $t=6$ là $11\text{ m}\text{.}$

d) Mực nước trong hồ xuống thấp nhất là $0,9\text{ m}$ (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Một học sinh sau kì nghỉ đã mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường học biệt lập với 1 000 học sinh. Sau khi có sự tiếp xúc giữa các học sinh, virus cúm lây lan trong khuôn viên trường. Giả thiết hệ thống chống dịch chưa được khởi động và virus cúm được lây lan tự nhiên. Gọi $P(t)$ là số học sinh bị nhiễm virus cúm ở ngày thứ $t$ tính từ ngày học sinh mang virus cúm quay trở lại khuôn viên trường. Biết rằng tốc độ lây lan của virus cúm tỉ lệ thuận với số học sinh không bị nhiễm virus cúm theo hệ số tỉ lệ là hằng số $k\ne 0.$ Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 4 ngày là 52 học sinh.

a) ${P}'\left( t \right)=k\left( 1000-P\left( t \right) \right).$

b) ${{\left[ {{e}^{kt}}\cdot P\left( t \right) \right]}^{\prime }}=1000k\cdot {{e}^{kt}}.$

c) $P\left( t \right)=1000\cdot {{e}^{-kt}}+C$ với $C$ là một hằng số xác định.

d) Số học sinh bị nhiễm virus cúm sau 10 ngày là $124$ học sinh (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Một quần thể vi khuẩn ban đầu gồm 500 vi khuẩn, sau đó bắt đầu tăng trưởng. Gọi $P(t)$ là số lượng vi khuẩn của quần thể đó tại thời điểm $t$, trong đó $t$ tính theo ngày $(0 \leq t \leq 10).$ Tốc độ tăng trưởng của quần thể vi khuẩn đó cho bởi hàm số $P^{\prime}(t)=k \sqrt{t}$, trong đó $k$ là hằng số. Sau 1 ngày, số lượng vi khuẩn của quần thể đó đã tăng lên thành 600 vi khuẩn.

a) $P(t)$ là một nguyên hàm của hàm số $f(t)=k \sqrt{t}.$

b) $P(t)=\dfrac{2 k}{3} \sqrt{t^3}+C$ với $0 \leq t \leq 10$ và $k, C$ là hằng số.

c) $P(t)=100 \sqrt{t^3}+500$ với $0 \leq t \leq 10.$

d) Số lượng vi khuẩn của quần thể đó sau 7 ngày là 3352 con.

Cho hàm số \[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
x&{{\rm{ khi }} - 1 \le x < 1}\\
{2 - x}&{{\rm{ khi }}1 \le x < 3}
\end{array}} \right.\] và $f\left( x+4 \right)=f\left( x \right),\text{ }\forall x\in \mathbb{R}.$

a) $f\left( 1 \right)=1;\text{ }f\left( 3 \right)=-1.$

b) Hàm số $f\left( x \right)$ đồng biến trên khoảng $\left( -1;1 \right)$ và nghịch biến trên khoảng $\left( 1;3 \right).$

c) Hàm số $f\left( x \right)$ có $6$ điểm cực trị trên khoảng $\left( 0;12 \right).$

d) Tổng các tung độ giao điểm của đồ thị hàm số $f\left( x \right)$ và parabol $\left( P \right):x=34{{y}^{2}}$ bằng \[\dfrac{-1+5\sqrt{185}}{68}.\]

Cho hàm số $f(x)=e^{2 x}-2 x.$
a) Hàm số có tập xác định là $\mathbb{R}.$

b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f^{\prime}(x)=2 e^{2 x}-2.$

c) Tập nghiệm của bất phương trình $f^{\prime}(x)>0$ là $S=(0 ;+\infty).$

d) Hàm số đã cho có giá trị cực tiểu bằng $0.$

Với mỗi số thực $t,$ kí hiệu $g\left( t \right)$ là nghiệm của phương trình $\tan x=t\text{ }\left( 1 \right).$

Xét hàm số $f\left( x \right)=2x\cdot g\left( x \right)-\ln \left( {{x}^{2}}+1 \right)-\dfrac{\pi }{4}x.$

a) Với $t=1,$ tập nghiệm của phương trình $\left( 1 \right)$ là $S=\left\{ \dfrac{\pi }{4}+k2\pi |k\in \mathbb{Z} \right\}.$

b) ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{{{t}^{2}}+1}.$

c) Số thực $\alpha$ sao cho $\alpha \in \left( 0;\dfrac{\pi }{4} \right)$ thỏa mãn ${f}'\left( \tan \alpha \right)=0$ là $\dfrac{\pi }{4}.$

d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left( x \right)$ trên đoạn $\left[ 0;1 \right]$ bằng $\dfrac{1}{4}\pi -\ln 2.$