Câu hỏi đề thi

Có hai hộp đựng các viên bi cùng kích thước và khối lượng. Hộp I có 4 bi đỏ, 3 bi xanh và 1 bi vàng. Hộp 2 có 5 bi đỏ và 3 bi xanh. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 3 viên bi từ hộp I bỏ sang hộp II, rồi lấy ngẫu nhiên đồng thời hai viên bi từ hộp II bỏ sang hộp I. Tính xác suất để hộp I các viên bi vẫn có đủ 3 màu, biết rằng ở hộp II số bi đỏ còn lại ít hơn 5 viên (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Một chiếc đèn được đặt trên đỉnh của một cột đèn cao $h(\mathrm{~m})$ để chiếu sáng một vòng xuyến giao thông đông đúc có bán kính 12 m. Cường độ ánh sáng $I$ tại một điểm $P$ trên vòng xuyến tỉ lệ thuận với cosin của góc $\theta$ và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách $d(\mathrm{~m})$ từ nguồn sáng đến điểm $P$ (xem hình dưới đây).

a) Giá trị $\cos \theta=\dfrac{12}{\sqrt{h^2+144}}.$

b) $I=k\cdot \dfrac{\cos \theta }{{{d}^{2}}}$ (với $k$ là hằng số dương).

c) Nếu $I=f(h)$ thì ${{f}^{\prime }}(h)=k\cdot \dfrac{-2{{h}^{2}}+144}{{{\left( {{h}^{2}}+144 \right)}^{2}}\sqrt{{{\left( {{h}^{2}}+144 \right)}^{3}}}}.$

d) Để cuờng độ ánh sáng $I$ lớn nhất thì cột đèn phải cao $6 \sqrt{2} \mathrm{~m}.$

Trong một mô hình nghiên cứu của một nhà khoa học, bề mặt trái đất được xem là một mặt cầu $(S)$ với tâm $O$, bán kính $R=6400 \mathrm{~km}$. Để xác định vị trí của một địa điểm trên trái đất hoặc vị trí vật thể trong không gian, nhà khoa học đã chọn hệ trục tọa độ $O x y z$ như hình vẽ với mỗi đơn vị trên trục bằng 100 km . Một tàu vũ trụ được phóng lên theo một quỹ đạo là một đường thẳng rời khỏi bề mặt Trái Đất tại điểm $A\left(0 ; 63 ; z_A\right)$ với $z_A \geq 0$, đi đến mục tiêu tại tọa độ $M(0 ; 70 ; 13)$.

a) Phương trình của mặt cầu $(S)$ là $x^2+y^2+z^2=64^2$.
b) $z_A=\sqrt{128}$.
c) Khoảng cách từ điểm xuất phát $A$ đến mục tiêu $M$ làm tròn đến hàng đơn vị theo đơn vị kilômét bằng 721 km.
d) Góc tạo bởi quỹ đạo của tàu vũ trụ tạo với trục $O y$, làm tròn đến đơn vị độ là $13^0$.

Một công ty nhận được 700 hồ sơ xin việc, trong đó 400 hồ sơ từ ứng viên có kinh nghiệm và 300 hồ sơ từ ứng viên chưa có kinh nghiệm. Trong số các ứng viên có kinh nghiệm, $40 \%$ được mời phỏng vấn. Trong số các ứng viên chưa có kinh nghiệm có $80 \%$ không được mời phỏng vấn. Nếu chọn ngẫu nhiên một hồ sơ đã được mời phỏng vấn, xác suất để hồ sơ đó là của ứng viên có kinh nghiệm là bao nhiêu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bạn Việt có một bể cá mini có dạng hình tròn xoay. Việt vẽ mô phỏng bể cá cắt theo một mặt phẳng vuông góc với đáy và đi qua trục của nó thì được thiết diện là một phần của hình elip có độ dài trục lớn bằng 40 cm, độ dài trục bé bằng 18 cm, bạn Việt đo được chiều cao của bể cá là 30 cm và khoảng cách từ tâm Elip đến cạnh là giao tuyến của thiết diện trên với mặt đáy của bể cá là 15 cm (tham khảo hình vẽ). Mức nước đang có trong bình cao bằng $\dfrac{2}{3}$ chiều cao của bể cá. Hỏi thể tích nước trong bình chiếm tỉ lệ bao nhiêu phần trăm so với thể tích của bể cá (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)?

Một tòa nhà hình cánh buồm được minh họa bởi hình vẽ bên, tòa nhà có chiều cao $S O=320 \mathrm{~m},$ gồm 56 tầng có tổng chiều cao là $O I=240 m$ và phần còn lại phía trên là không gian sân thượng. Mặt trước hình cánh buồm, được căng bởi hai cung parabol $S C A$ và $S D B$ giống hệt nhau có trục đối xứng vuông góc với đường thẳng $S O$, các parabol này nằm trong mỗi mặt bên của tòa nhà. Hai mặt bên $S O A$ và $S O B$ tạo với nhau một góc $60^{\circ}$. Mặt sàn tầng một có dạng hình quạt tròn tâm $O$ với bán kính $O A=60 \mathrm{~m}$, mái của tầng 56 có dạng hình quạt tròn tâm $I$ với bán kính $I C=40 \mathrm{~m}$. Thiết diện ngang của tòa nhà đi qua một điểm $H$ bất kỳ trên đoạn $O I$ luôn là hình quạt có tâm là $H$. Tính thể tích của tòa nhà (chỉ tính phần chứa 56 tầng) với đơn vị là nghìn mét khối và kết quả làm tròn đến hàng đơn vị.

Có hai chiếc hộp, hộp I có 6 quả bóng màu đỏ và một số quả bóng màu xanh, hộp II có 7 quả bóng màu đỏ và 3 quả bóng màu xanh, các quả bóng có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng từ hộp I bỏ vào hộp II. Sau đó, lấy ra ngẫu nhiên hai quả bóng từ hộp II. Xác suất lấy được ít nhất một quả bóng đỏ từ hộp II bằng $\dfrac{32}{35}$. Tính xác suất để quả bóng được lấy ra từ hộp I là quả bóng đỏ, biết rằng hai quả bóng lấy ra từ hộp II có ít nhất một quả bóng đỏ (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trong không gian $O x y z$ với đơn vị dài trên mỗi trục là 1 cm, một con ruồi xuất phát tại vị trí điểm $A(3 ; 2 ; 1)$ bay xuống mặt phẳng $(O x y)$ nó nghỉ tại chỗ một lát rồi sau đó bay đến mặt phẳng $(P): y-z=0$. Tại mặt phẳng $(P)$ con ruồi cẩn thận bò đi một đoạn đường thẳng có độ dài bằng 2 cm, sau đó nó bay trở về vị trí xuất phát. Tính độ dài ngắn nhất của quãng đường mà con ruồi đã thực hiện (Kết quả tính theo đơn vị cm và làm tròn đến hàng phần trăm).

Trong không gian $O x y z$ cho trước (đơn vị trên mỗi trục là km), một trạm kiểm soát hải quân phát hiện một chiếc tàu lạ ở vị trí $A(9 ; 12 ; 0)$ đang di chuyển theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_1}=(-3 ; 4 ; 0)$ với vận tốc $30 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$. Ngay lập tức trạm kiểm soát điều khiển một máy bay không người lái đang ở vị trí $B(0 ; 0 ; 1)$ di chuyển theo hướng vectơ $\overrightarrow{v_2}=(5 ; 12 ; 0)$ với vận tốc $130 \mathrm{~km} / \mathrm{h}$ để tiếp cận chiếc tàu lạ đó. Hỏi sau bao nhiêu phút thì khoảng cách giữa máy bay không người lái và chiếc tàu lạ đó là ngắn nhất (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm)?

Bạn Dũng làm một chiếc diều từ 4 thanh tre gồm hai thanh thẳng cùng dài 80 cm, hai thanh còn lại được uốn cong thành hai đường parabol $\left(P_1\right)$ và $\left(P_2\right)$. Bạn Dũng cố định 4 thanh tre trên tại 5 vị trí $A, B, C, M, O$ sao cho $O A B C$ là một hình vuông, sau đó dán giấy màu để tạo thành chiếc diều (tham khảo hình vẽ dưới đây). Tính diện tích phần giấy màu bạn Dũng cần dùng để tạo thành chiếc diều (đơn vị $\mathrm{cm}^2$ ) biết rằng điểm $M$ cách đều hai đoạn thẳng $A B$ và $B C$ một khoảng bằng 50 cm (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Trong một cuộc khảo sát $1000$ học sinh thì có $200$ học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có $85\%$ học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có $10\%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của nhóm khảo sát.

a) Xác suất chọn được học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao là $0,2.$

b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ thể thao vừa biết chơi bóng đá là $0,25.$

c) Xác suất chọn được học sinh không biết chơi bóng đá là $0,75.$

d) Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao là $0,68.$

Một con chim thông minh đang đứng trên một cây cao tại điểm $B(7 ; 10 ; 6).$ Trong không gian $Oxyz$ mỗi đơn vị trên trục ứng với 1 mét và mặt đất (xem như phẳng) là mặt phẳng $(Oxy).$ Con chim thông minh biết bay thẳng xuổng mặt đất tại $N$ và chạy lấy thức ăn tại điểm $M$ cách $N$ 4 m sau đó bay thẳng đến điểm $A(1 ; 2 ; 3)$ trên một cây cao về cho chim con với tổng các khoảng cách $B N+A M$ nhỏ nhất. Tính tổng các tung độ của $M$ và $N.$

Cho hình phẳng $(H)$ giới hạn bởi $\dfrac{1}{4}$ cung tròn của đường tròn tâm $O(0 ; 0)$ và bán kính bằng 4, parabol $(P)$ có tọa độ đỉnh $I(2 ; 2)$ và đi qua gốc tọa độ $O$, các đường thẳng $x=0, x=4$ như hình vẽ bên dưới:

a) Parabol có phương trình là $y=-\dfrac{1}{2}{{x}^{2}}+2x$.

b) Thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng $\left( H \right)$ quanh trục $Ox$ bằng $\dfrac{512}{15}\pi $.

c) Diện tích hình phẳng $\left( H \right)$ bằng $16\left( \pi -\dfrac{1}{3} \right)$.

d) Cung tròn có phương trình là $y=\sqrt{16-{{x}^{2}}}\text{ , 0}\le x\le 4.$

Một bình chứa khí hình cầu $K$ (đường kính 10 m) chạm trực tiếp vào một bức tường thẳng đứng tại điểm $T(-6 ; 0 ; 5)$. Một tấm chắn E được cố định xuống đất tại các điểm $A(0 ; 16,25 ; 0)$, $B(-12 ; 16,25 ; 0)$ và tại các điểm $C(0 ; 5 ; 15), D(-12 ; 5 ; 15)$ được đỡ bằng các thanh chống thẳng đứng (mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1 m).

a) Tâm $I$ của hình cầu $K$ có tọa độ là $\left( -6;-5;5 \right).$

b) Phương trình tấm chắn $E$ là $4y+3z-65=0.$

c) Một điểm $M$ bất kì nằm trên bề mặt của bình chứa $K.$ Khi khoảng cách ngắn nhất từ $M$ đến tấm chắn $E$ thì ${{x}_{M}}+{{y}_{M}}+{{z}_{M}}=11.$

d) Để tối ưu chi phí, nên thay tấm chắn $E$ bằng tấm $H$ có cùng chiều rộng với tấm chắn $E$ (cùng bằng $AB=12$), nhưng chiều dài giảm đi để có thể tiếp xúc với quả bóng. Khi đó các thanh chống đều phải rút ngắn đi không ít hơn $2,5\text{ m}\text{.}$

Một công viên sinh thái muốn bố trí một mảnh vườn hoa nhỏ. Cụ thể bối cảnh của công viên đã được đo đạt như sau:

- Đường đi lát gạch chạy thẳng, lấy làm ranh dưới của mảnh vườn.

- Hàng rào uốn cong có dạng là đồ thị parabol $y={{x}^{2}}$, biết đồ thị parabol này tiếp xúc với đường đi tại đỉnh của nó.

- Ao cá có dạng là một hình tròn bán kính bằng 0,5 mét tiếp xúc với đường đi đồng thời có chung một điểm duy nhất với hàng rào. Khu vực vườn hoa nằm giữa hàng rào, lối đi và ao cá (phần gạch sọc trong hình minh họa). Hỏi diện tích mảnh vườn hoa đó bằng bao nhiêu mét vuông?( Mỗi đơn vị trên trục tương ứng 1m) (làm tròn kết quả đến hàng phần mười).

Nhà Bác Cẩn cần thi công lắp đặt đường điện đi theo các ống ghen để luồn dây điện cho một căn phòng. Vị trí nguồn điện tại điểm $A(1 ; 2 ; 3)$. Đường điện thiết kế được mô hình hoá là đường thẳng $d$ có vectơ chi phương $\vec{u}=(2 ; 1 ; 2)$ và nối từ nguồn điện $A$ đến một giá đỡ tại điểm $G$ trên bức tường, giả sử giá đỡ đó được mô tả bởi mặt phẳng có phương trình là $(P): 2 x-y-2 z+10=0$. Biết rằng hệ tọa độ được đo bằng mét và giá tiền thi công hoàn thiện một mét đường điện là 200 000 đồng.

a) Phương trình đường thẳng $d$ là $\dfrac{x-1}{2}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z-3}{2}$.
b) Tọa độ điểm $G(9 ; 6 ; 11)$.
c) Giá tiền thi công hoàn thiện đường điện nối từ $A$ đến $G$ là 2 500 000 đồng.
d) Bác Cẩn cần lắp một bóng đèn trang trí tại điểm $I(a ; b ; c)$ thuộc đường thẳng được mô hình hóa bởi phương trình $\Delta: \dfrac{x-1}{1}=\dfrac{y-2}{1}=\dfrac{z}{2}$ sao cho một đường điện được nối thêm từ nguồn điện $A$ đến điểm $I$ là nhỏ nhất. Khi đó $a^2+b^2+c^2=17$.

Một trường THPT có 1500 học sinh thì có 300 học sinh tham gia câu lạc bộ âm nhạc, trong số học sinh đó có $75 \%$ học sinh biết chơi đàn guitar. Ngoài ra, có $10 \%$ số học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc cũng biết chơi đàn guitar. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường.
a) Xác suất chọn được học sinh không tham gia câu lạc bộ âm nhạc là $0,8.$
b) Xác suất chọn được học sinh vừa tham gia câu lạc bộ âm nhạc vừa biết chơi đàn guitar là $0,15.$
c) Xác suất chọn được học sinh biết chơi đàn guitar là $0,25.$
d) Giả sử học sinh đó biết chơi đàn guitar. Xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ âm nhạc là $0,65$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lớp 12 A có tất cả 40 học sinh, trong đó có 26 nam sinh, còn lại là nữ sinh. Trong một bài kiểm tra Toán, lớp có đúng 18 học sinh đạt điểm Giỏi (22 học sinh còn lại đạt điểm Khá) đồng thời số nam sinh đạt điểm Giỏi gấp đôi số nữ sinh đạt điểm Khá. Chọn ngẫu nhiên đồng thời hai học sinh của lớp 12A.
a) Xác suất để hai học sinh được chọn đều là nữ sinh bằng $\dfrac{7}{60}.$
b) Xác suất để hai học sinh được chọn không có cùng giới tính bằng $\dfrac{32}{65}.$
c) Xác suất để cả hai học sinh được chọn đều là nữ sinh đạt điểm Giỏi bằng $\dfrac{3}{52}.$
d) Biết rằng hai học sinh được chọn không có cùng giới tính, xác suất để cả hai học sinh đó đều đạt điểm Giỏi bằng $\dfrac{18}{91}.$

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Một hộp lập phương kín $ABCD.EFGH$ có các mặt là mặt gương (các mặt bên trong của hộp) với $A\left( 12;12;12 \right),$ $B\left( 12;0;12 \right),$ $D\left( 0;12;12 \right)$ và $E\left( 12;12;0 \right).$ Một tia sáng phát ra từ đỉnh $A$ và phản xạ khỏi mặt $\left( EFGH \right)$ tại điểm $P$ cách $GH$ $5\text{ m}$ và cách $GF$ $7\text{ m}\text{.}$ Tia sáng tiếp tục phản xạ khỏi các mặt của hộp. Độ dài đường đi của tia sáng từ thời điểm nó rời khỏi đỉnh $A$ cho đến khi nó đến một đỉnh của hộp lần đầu tiên là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).

Trong không gian $Oxyz$ (đơn vị trên mỗi trục là mét). Một hộp lập phương kín $ABCD.EFGH$ có các mặt là mặt gương (các mặt bên trong của hộp) với $A\left( 12;12;12 \right),$ $B\left( 12;0;12 \right),$ $D\left( 0;12;12 \right)$ và $E\left( 12;12;0 \right).$ Một tia sáng phát ra từ đỉnh $A$ và phản xạ khỏi mặt $\left( EFGH \right)$ tại điểm $P$ cách $GH$ $5\text{ m}$ và cách $GF$ $7\text{ m}\text{.}$ Tia sáng tiếp tục phản xạ khỏi các mặt của hộp. Độ dài đường đi của tia sáng từ thời điểm nó rời khỏi đỉnh $A$ cho đến khi nó đến một đỉnh của hộp lần đầu tiên là bao nhiêu mét (làm tròn kết quả đến hàng phần chục).