KhánhHuyeefnNguyeexn1212
[175059]
14/11/2023 11:32:34 PM
Toán cao cấp đại số tuyến tính
Cho A, B là hai ma trận vuông cấp n thỏa mãn A^2019=0 và A+2019B=AB. Chứng minh rằng hệ phương trình thuần nhất có ma trận hệ số B vô số nghiệm.
Ta có ${{A}^{2019}}=0\Rightarrow {{\left( \det A \right)}^{2019}}=0\Rightarrow \det A=0$
Và $A+2019B=AB\Leftrightarrow \left( A-2019E \right)B=A$
Lấy định thức hai vế $\Rightarrow \det \left( A-2019E \right).\det B=\det A=0\Rightarrow \det B=0\vee \det \left( A-2019E \right)=0$
Ta chỉ cần chứng minh $\det \left( A-2019E \right)\ne 0$
Xét $-{{\left( 2019E \right)}^{2019}}={{A}^{2019}}-{{\left( 2019E \right)}^{2019}}=\left( A-2019E \right)\left( {{A}^{2018}}+{{A}^{2017}}.2019E+...+{{\left( 2019E \right)}^{2018}} \right)$
Lấy định thức hai vế $\Rightarrow \det \left( A-2019E \right)\ne 0$ ta có điều phải chứng minh.