Tích Phân Hàm Ẩn
f'(x)^2 + 4f(x) = 8x^2
f(1)=1 tính tích phân của f(x) từ 1-3
Câu trả lời của bạn
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Cho hàm số $f(x)$ có đạo hàm liên tục trên đoạn $[0;3]$ thoả $f(1)=1$ và ${{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}+4f(x)=8{{x}^{2}}.$ Giá trị $\displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)dx}$ bằng?
Lời giải:
Lấy tích phân hai vế trên đoạn $[0;1]$ ta có: $\displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}+4\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{0}^{1}{8{{x}^{2}}dx}=\dfrac{8}{3}.$
Áp dụng tích phân từng phần ta được:
$\displaystyle\int_{0}^{1}{f(x)}dx=xf(x)\left| \begin{gathered}\hfill 1 \\ \hfill 0 \\ \end{gathered} \right.-\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}=1-\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}.$
Thay vào đẳng thức trên ta được
$\begin{gathered}\hfill \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-4\displaystyle\int_{0}^{1}{x{f}'(x)dx}+4-\dfrac{8}{3}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\displaystyle\int_{0}^{1}{2x{f}'(x)dx}+\dfrac{4}{3}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x) \right)}^{2}}dx}-2\displaystyle\int_{0}^{1}{2x{f}'(x)dx}+\displaystyle\int_{0}^{1}{4{{x}^{2}}dx}=0 \\ \hfill \Leftrightarrow \displaystyle\int_{0}^{1}{{{\left( {f}'(x)-2x \right)}^{2}}dx}=0\Leftrightarrow {f}'(x)=2x\Rightarrow f(x)={{x}^{2}}+C \\ \hfill f(1)=1\Rightarrow 1=1+C\Leftrightarrow C=0 \\ \hfill \Rightarrow \displaystyle\int_{1}^{3}{f(x)dx}=\displaystyle\int_{1}^{3}{{{x}^{2}}dx}=\dfrac{26}{3}. \\ \end{gathered}$
Đề thiếu gì ko em; em phải cho biết hàm f liên tục trên đoạn nào!