thiennhan23 [160087]
06/03/2023 8:04:40 PM

thầy giúp em câu này với ạ

Trong mặt phẳng toạ độ Oxyz, cho tam giác ABC với A(1;0;-1), B(2;3;-1), C(-2;1;1) và điểm D(2;3;-6). Gọi (S) là mặt cầu tâm I qua 3 điểm A,B,C và thoả mãn diện tích tam giác IAD nhỏ nhất.Tính bán kính R của mặt cầu (S)

Toán Học 1 câu trả lời 246 lượt xem

1 Câu trả lời

Lời giải
Đã ghim
Đặng Thành Nam [6119] Publisher, Admin Đã mua 28 khóa học 11:14 07-03-2023

Trong không gian $Oxyz,$ cho bốn điểm \[A\left( 1;0;-1 \right),B\left( 2;3;-1 \right),C\left( -2;1;1 \right),D\left( 2;3;-6 \right).\] Gọi $\left( S \right)$ là mặt cầu có tâm $I$ qua $A,B,C$ sao cho tam giác $IAD$ có diện tích nhỏ nhất. Bán kính của $\left( S \right)$ bằng

A. $2\sqrt{3}.$

B. $2\sqrt{6}.$

C. $4\sqrt{3}.$

D. $\sqrt{6}.$

Ta có \[\left\{ \begin{gathered} I{A^2} = I{B^2} \hfill \\ I{A^2} = I{C^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} \hfill \\ {\left( {x - 1} \right)^2} + {y^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2x + 6y - 12 = 0 \hfill \\ 6x - 2y - 4z + 4 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 - 3t \hfill \\ y = t \hfill \\ z = 10 - 5t \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {6 - 3t;t;10 - 5t} \right)\]

Khi đó \[\overrightarrow{AD}\left( 1;3;-5 \right),\overrightarrow{AI}\left( 5-3t;t;11-5t \right)\Rightarrow {{S}_{IAD}}=\dfrac{1}{2}\left| \left[ \overrightarrow{AD},\overrightarrow{AI} \right] \right|\]

\[=g\left( t \right)=\dfrac{1}{2}\sqrt{{{\left( 33-10t \right)}^{2}}+{{\left( -36+20t \right)}^{2}}+{{\left( 10t-15 \right)}^{2}}}\ge \underset{\mathbb{R}}{\mathop{\min }}\,g\left( t \right)=g\left( 2 \right)=\sqrt{\dfrac{105}{2}}.\]

 

Đạt tại \[t=2\Rightarrow R=IA=\sqrt{6}.\] Chọn đáp án D.

1

Câu trả lời của bạn

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập

Không phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.