Thầy giúp em câu c hình ạ
Câu trả lời của bạn
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Cho tứ diện đều $ABCD$ cạnh $a.$ Gọi $O$ và $I$ lần lượt là trung điểm cạnh $BD,AD.$ Lấy điểm $E$ đối xứng với $C$ qua $O$ và $F$ đối xứng với $O$ qua $D.$ Mặt phẳng $\left( \alpha \right)$ thay đổi chứa đường thẳng $FI$ cắt $AE,AB,AC$ lần lượt tại $M,N,P.$
a) Tính độ dài $AE.$
b) Xác định vị trí của điểm $N.$
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{2023}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{2024}{A{{P}^{2}}}.$
https://vted.vn/tin-tuc/vecto-trong-khong-gian-van-dung-dieu-kien-bon-diem-dong-phang-6146.html
Giải. Theo giả thiết ta có $BCDE$ là hình bình hành tâm $O$
Do $ABCD$ là tứ diện đều nên hình chiếu vuông góc của $A$ lên mặt phẳng $\left( BCD \right)$ là trọng tâm $G$ của tam giác $BCD$
Ta có $AE=\sqrt{A{{G}^{2}}+G{{E}^{2}}}=\sqrt{\left( A{{C}^{2}}-C{{G}^{2}} \right)+4C{{G}^{2}}}=\sqrt{A{{C}^{2}}+3C{{G}^{2}}}=\sqrt{{{a}^{2}}+3{{\left( \dfrac{a}{\sqrt{3}} \right)}^{2}}}=\sqrt{2}a$
b) Gọi $N=FI\cap AB;J=FI\cap AO.$ Trong mặt phẳng $\left( ACE \right)$ kẻ đường thẳng qua $J$ cắt $AE,AC$ lần lượt tại $M,P$
Áp dụng định lí Meneleus cho tam giác $ABD$ với ba điểm thẳng hàng $F,I,N$ ta được:
$\dfrac{NA}{NB}.\dfrac{ID}{IA}.\dfrac{FB}{FD}=1\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}.1.3=1\Leftrightarrow \dfrac{NA}{NB}=\dfrac{1}{3}$ ta đã xác định được vị trí của điểm $N$
c) Ta có $\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AE}=2\overrightarrow{AO}=2\dfrac{AO}{AJ}\overrightarrow{AJ}=\dfrac{AC}{AP}\overrightarrow{AP}+\dfrac{AE}{AM}\overrightarrow{AM}$
Vì ba điểm $I,J,N$ thẳng hàng nên $\dfrac{AC}{AP}+\dfrac{AE}{AM}=2\dfrac{AO}{AJ}\left( 1 \right)$
Tương tự $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AD}=2\overrightarrow{AO}=2\dfrac{AO}{AJ}\overrightarrow{AJ}=\dfrac{AB}{AN}\overrightarrow{AN}+\dfrac{AD}{AI}\overrightarrow{AI}$
Vì ba điểm $M,J,P$ thẳng hàng nên $\dfrac{AB}{AN}+\dfrac{AD}{AI}=2\dfrac{AO}{AJ}\left( 2 \right)$
So sánh $\left( 1 \right),\left( 2 \right)\Rightarrow \dfrac{AC}{AP}+\dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AB}{AN}+\dfrac{AD}{AI}=4+2\Rightarrow \dfrac{a}{AP}+\dfrac{\sqrt{2}a}{AM}=6\Rightarrow \dfrac{\sqrt{2}}{AM}+\dfrac{1}{AP}=\dfrac{6}{a}$
Khi đó dùng BĐT Cauchy – Schwarz ta có:
$\dfrac{36}{{{a}^{2}}}={{\left( \dfrac{\sqrt{2}}{AM}+\dfrac{1}{AP} \right)}^{2}}={{\left( \dfrac{\sqrt{2023}}{AM}\sqrt{\dfrac{2}{2023}}+\dfrac{\sqrt{2024}}{AP}\sqrt{\dfrac{1}{2024}} \right)}^{2}}$
$\le \left( \dfrac{2023}{A{{M}^{2}}}+\dfrac{2024}{A{{P}^{2}}} \right)\left( \dfrac{2}{2023}+\dfrac{1}{2024} \right)\Rightarrow P\ge \dfrac{36}{{{a}^{2}}\left( \dfrac{2}{2023}+\dfrac{1}{2024} \right)}$
Dấu bằng đạt tại $\dfrac{\sqrt{2023}}{AM}:\sqrt{\dfrac{2}{2023}}=\dfrac{\sqrt{2024}}{AP}:\sqrt{\dfrac{1}{2024}};\dfrac{\sqrt{2}}{AM}+\dfrac{1}{AP}=\dfrac{6}{a}$
Em chụp thiếu mất đề rồi em?