NamPhanÐình [160687] Đã mua 4 khóa học
17/12/2022 8:24:14 AM

Nhờ mọi người giúp em câu 48 đc ko ak

Toán Học 2 câu trả lời 105 lượt xem

2 Câu trả lời

Lời giải
Đã ghim
Đặng Thành Nam [6119] Publisher, Admin Đã mua 39 khóa học 20:39 17-12-2022

Câu hỏi: Cho $\alpha >1,\beta >0$ và các số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thoả mãn ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+...+n{{x}_{n}}=\beta .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x_{1}^{\alpha }+2x_{2}^{\alpha }+...+nx_{n}^{\alpha }$ bằng

*Bất đẳng thức Jensen: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng $\left( a;b \right)$ và $n$ số thực dương ${{\alpha }_{k}},k=1,2,...,n$ khi đó

+ Nếu ${f}''\left( x \right)>0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì ta có

\[{{\alpha }_{1}}f\left( {{x}_{1}} \right)+{{\alpha }_{2}}f\left( {{x}_{2}} \right)+...+{{\alpha }_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)\ge \left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}} \right)f\left( \dfrac{{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{x}_{n}}}{{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}} \right)\]

dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}.$

+ Nếu ${f}''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì ta có

\[{{\alpha }_{1}}f\left( {{x}_{1}} \right)+{{\alpha }_{2}}f\left( {{x}_{2}} \right)+...+{{\alpha }_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)\le \left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}} \right)f\left( \dfrac{{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{x}_{n}}}{{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}} \right)\]

dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}.$

Tìm đọc chứng minh BĐT Jensen trong cuốn sách Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max của Thầy Đặng Thành Nam

*Áp dụng vào bài toán:

Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{\alpha }},\left( \alpha >1 \right)$ trên khoảng $\left( 0;+\infty  \right)$ ta có ${f}''\left( x \right)=\alpha \left( \alpha -1 \right){{x}^{\alpha -2}}>0,\forall x\in \left( 0;+\infty  \right),\alpha >1$

Do đó áp dụng BĐT Jensen ta có:

$P=f\left( {{x}_{1}} \right)+2f\left( {{x}_{2}} \right)+...+nf\left( {{x}_{n}} \right)\ge \left( 1+2+...+n \right)f\left( \dfrac{{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+...+n{{x}_{n}}}{1+2+...+n} \right)$

$=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}f\left( \dfrac{\beta }{\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}} \right)=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}f\left( \dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)} \right)=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}{{\left( \dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)} \right)}^{\alpha }}.$

Dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=\dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)}.$

0
Lời giải
Đã ghim
Quốc Khang [158994] Đã mua 4 khóa học 17:03 17-12-2022

Bài này phải nhận ra tính chất BĐT này, bạn xem chứng minh để hiểu bản chất , hong thì thuộc lòng cũng được  

Cách 2 để chứng minh BĐT trên bạn có thể xem link : So sánh (a^n + b^n)/2 và ((a + b)/2)^n, với a lớn hơn hoặc bằng 0; b lớn hơn (vietjack.com)

Áp dụng BĐT trên ta được: 

0

Câu trả lời của bạn

Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.

Đăng nhập

Không phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.