Nhờ mọi người giúp em câu 48 đc ko ak
Câu trả lời của bạn
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Câu hỏi: Cho $\alpha >1,\beta >0$ và các số thực dương ${{x}_{1}},{{x}_{2}},...,{{x}_{n}}$ thoả mãn ${{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+...+n{{x}_{n}}=\beta .$ Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=x_{1}^{\alpha }+2x_{2}^{\alpha }+...+nx_{n}^{\alpha }$ bằng
*Bất đẳng thức Jensen: Cho hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm đến cấp hai trên khoảng $\left( a;b \right)$ và $n$ số thực dương ${{\alpha }_{k}},k=1,2,...,n$ khi đó
+ Nếu ${f}''\left( x \right)>0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì ta có
\[{{\alpha }_{1}}f\left( {{x}_{1}} \right)+{{\alpha }_{2}}f\left( {{x}_{2}} \right)+...+{{\alpha }_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)\ge \left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}} \right)f\left( \dfrac{{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{x}_{n}}}{{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}} \right)\]
dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}.$
+ Nếu ${f}''\left( x \right)<0,\forall x\in \left( a;b \right)$ thì ta có
\[{{\alpha }_{1}}f\left( {{x}_{1}} \right)+{{\alpha }_{2}}f\left( {{x}_{2}} \right)+...+{{\alpha }_{n}}f\left( {{x}_{n}} \right)\le \left( {{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}} \right)f\left( \dfrac{{{\alpha }_{1}}{{x}_{1}}+{{\alpha }_{2}}{{x}_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}{{x}_{n}}}{{{\alpha }_{1}}+{{\alpha }_{2}}+...+{{\alpha }_{n}}} \right)\]
dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}.$
Tìm đọc chứng minh BĐT Jensen trong cuốn sách Sách Khám Phá Tư Duy Kỹ Thuật Giải Bất Đẳng Thức Bài Toán Min- Max của Thầy Đặng Thành Nam
*Áp dụng vào bài toán:
Xét hàm số $f\left( x \right)={{x}^{\alpha }},\left( \alpha >1 \right)$ trên khoảng $\left( 0;+\infty \right)$ ta có ${f}''\left( x \right)=\alpha \left( \alpha -1 \right){{x}^{\alpha -2}}>0,\forall x\in \left( 0;+\infty \right),\alpha >1$
Do đó áp dụng BĐT Jensen ta có:
$P=f\left( {{x}_{1}} \right)+2f\left( {{x}_{2}} \right)+...+nf\left( {{x}_{n}} \right)\ge \left( 1+2+...+n \right)f\left( \dfrac{{{x}_{1}}+2{{x}_{2}}+...+n{{x}_{n}}}{1+2+...+n} \right)$
$=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}f\left( \dfrac{\beta }{\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}} \right)=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}f\left( \dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)} \right)=\dfrac{n\left( n+1 \right)}{2}{{\left( \dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)} \right)}^{\alpha }}.$
Dấu bằng xảy ra khi ${{x}_{1}}={{x}_{2}}=...={{x}_{n}}=\dfrac{2\beta }{n\left( n+1 \right)}.$
Bài này phải nhận ra tính chất BĐT này, bạn xem chứng minh để hiểu bản chất , hong thì thuộc lòng cũng được
Cách 2 để chứng minh BĐT trên bạn có thể xem link : So sánh (a^n + b^n)/2 và ((a + b)/2)^n, với a lớn hơn hoặc bằng 0; b lớn hơn (vietjack.com)
Áp dụng BĐT trên ta được: