nguyenha051002@gmail.com
[114839]
16/11/2020 2:27:06 PM
mọi người giúp em bài này với ạ
Dễ thấy ${{a}_{n}}>1,\forall n=1,2,...$ Giả sử $\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=L\in \mathbb{R}.$ Khi đó ${{a}_{n}}=\sqrt{1+{{a}_{n-1}}}\Rightarrow \underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n}}=\sqrt{1+\underset{n\to \infty }{\mathop{\lim }}\,{{a}_{n-1}}}\Leftrightarrow L=\sqrt{1+L}\Leftrightarrow L=\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$
Khi đó dễ chứng minh được ${{a}_{n}}<\frac{1+\sqrt{5}}{2},\forall n=1,2,...$
Khi đó ${{a}_{n}}-{{a}_{n-1}}=\sqrt{1+{{a}_{n-1}}}-{{a}_{n-1}}=\frac{1+{{a}_{n-1}}-a_{n-1}^{2}}{\sqrt{1+{{a}_{n-1}}}+{{a}_{n-1}}}>0,\forall n=1,2,...$
Vậy dãy số đã cho đơn điệu tăng và bị chặn trên bởi $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ và có giới hạn bằng $\frac{1+\sqrt{5}}{2}.$