Ngô Tất Tố
[62415]
07/04/2020 10:41:55 PM
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Mod giúp em với!!
Em gắn trục toạ độ vào xử lí em.
Link câu hỏi: https://www.askmath.vn/cau-hoi/cho-hinh-chop-co-day-la-hinh-vuong-canh-va-vuong-goc-voi-day-goi-/37221168-a8f4-4856-bb1c-6374ff88c136
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình vuông cạnh $a,SA=\sqrt{2}a$ và vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm các cạnh $SA,CD;$ các điểm $H,K$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $A$ lên $SB,SD.$ Côsin góc giữa đường thẳng $MN$ và mặt phẳng $(AHK)$ bằng
Giải. Chọn hệ trục toạ độ $Oxyz,$ với $O\equiv A$ các tia $Ox,Oy,Oz$ lần lượt trùng với các tia $AB,AD,AS.$
Toạ độ các điểm là $A(0;0;0),B(1;0;0),C(1;1;0),D(0;1;0),S(0;0;\sqrt{2}),M\left( 0;0;\frac{\sqrt{2}}{2} \right),N\left( \frac{1}{2};1;0 \right).$
Có $\overrightarrow{MN}\left( \frac{1}{2};1;-\frac{\sqrt{2}}{2} \right)$ và $\left\{ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} AH \bot SB\\ BC \bot (SAB) \Rightarrow BC \bot AH \end{array} \right. \Rightarrow AH \bot (SBC) \Rightarrow AH \bot SC\\ \left\{ \begin{array}{l} AK \bot SD\\ DC \bot (SAD) \Rightarrow DC \bot AK \end{array} \right. \Rightarrow AK \bot (SDC) \Rightarrow AK \bot SC \end{array} \right. \Rightarrow \overrightarrow {{n_{(AHK)}}} = \overrightarrow {SC} \left( {1;1; - \sqrt 2 } \right).$
Vì vậy $\sin \left( MN,(AHK) \right)=\frac{\left| \overrightarrow{MN}\overrightarrow{SC} \right|}{\left| \overrightarrow{MN} \right|\left| \overrightarrow{SC} \right|}=\frac{\left| \frac{1}{2}\times 1+1\times 1+\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)\times (-\sqrt{2}) \right|}{\sqrt{{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}}\sqrt{{{1}^{2}}+{{1}^{2}}+{{\left( -\sqrt{2} \right)}^{2}}}}=\frac{5\sqrt{7}}{14}\Rightarrow \cos \left( MN,(AHK) \right)=\frac{\sqrt{21}}{14}.$ Chọn đáp án B.