Ngọc Hiền
[4223]
01/12/2018 4:59:16 PM
Giúp mình câu này với.
1 hình chóp tứ giác đều có tâm mặt cầu ngoại tiếp và tâm mặt cầu nội tiếp trùng nhau. Tính số đo góc ở đỉnh của một mặt bên hình chóp.
Tham khảo em nhé!!!
Lời giải.
Gọi $I$ là tâm mặt cầu nội tiếp đồng thời là ngoại tiếp. Đặt $AB=1,SO=x,OI=y.$
Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp $S.ABCD$ là $R=\sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{2}}=x-y.$
Gọi $H,K$ lần lượt là hình chiếu của $O,I$ lên $\left( SCD \right).$
Có $OH=\frac{x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}};\frac{SI}{SO}=\frac{IK}{OH}\Rightarrow IK=\frac{x}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}}.\frac{x-y}{x}=\frac{x-y}{2\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{4}}}.$
Ta có bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp $S.ABCD$ là $R=IK=IO.$ Hay $\frac{x-y}{\sqrt{4{{x}^{2}}+1}}=y.$
Khi đó ta có hệ phương trình
$\left\{ \begin{align} & \sqrt{{{y}^{2}}+\frac{1}{2}}=y\sqrt{4{{x}^{2}}+1} \\ & {{y}^{2}}+\frac{1}{2}={{x}^{2}}-2xy+{{y}^{2}} \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & \sqrt{1+\frac{1}{2{{y}^{2}}}}=\sqrt{4{{x}^{2}}+1} \\ & {{x}^{2}}-2xy-\frac{1}{2}=0 \\\end{align} \right.$ $\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & xy=\frac{\sqrt{2}}{4} \\ & {{x}^{2}}-2xy-\frac{1}{2}=0 \\\end{align} \right.$ $\Rightarrow x=\frac{\sqrt{2+2\sqrt{2}}}{2}.$
Khi đó $SC=SD=\sqrt{{{x}^{2}}+\frac{1}{2}}\Rightarrow \cos CSD=\frac{S{{C}^{2}}+S{{D}^{2}}-C{{D}^{2}}}{2SC.SD}=\frac{\sqrt{2}}{2}.$ Hay $\widehat{CSD}={{45}^{o}}.$
Em cảm ơn anh ạ