phamhuyhoang05122003@gmail.com
[107663]
22/10/2020 7:36:33 AM
giúp em câu 13 với ạ
Cho các số thực dương $a,b$ thoả mãn \[{{\log }_{3}}\left( \dfrac{1-ab}{a+2b} \right)=3ab+a+2b-4.\] Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=a+b$ bằng
Giả thiết tương đương với:
\[\begin{gathered} {\log _3}\left( {\dfrac{{1 - ab}}{{a + 2b}}} \right) = 3ab + a + 2b - 4 \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}(1 - ab) + 3(1 - ab) + 1 = {\log _3}(a + 2b) + (a + 2b) \hfill \\ \Leftrightarrow {\log _3}(3 - 3ab) + (3 - 3ab) = {\log _3}(a + 2b) + (a + 2b) \hfill \\ \Leftrightarrow 3 - 3ab = a + 2b \Leftrightarrow b(3a + 2) = 3 - a \Leftrightarrow b = \dfrac{{3 - a}}{{3a + 2}}. \hfill \\ \end{gathered} \]
Do \[a>0,b>0\Rightarrow 0<a<3.\] Khi đó \[P=a+b=g(a)=a+\dfrac{3-a}{3a+2}\ge \underset{(0;3)}{\mathop{\min }}\,g(a)=g\left( \dfrac{-2+\sqrt{11}}{3} \right)=\dfrac{2\sqrt{11}-3}{3}.\] Chọn đáp án B.