Nguyễn Tùng Chi
[171162]
05/12/2023 10:58:04 PM
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Có bao nhiêu cặp số nguyên $\left( x;y \right)$ thoả mãn ${{\log }_{3}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y \right)+{{\log }_{6}}\left( {{x}^{2}}+{{y}^{2}} \right)\le {{\log }_{3}}y+{{\log }_{6}}\left( 2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8y \right)?$
A. $4.$
B. $6.$
C. $3.$
D. $5.$
https://askmath.vn/cau-hoi/co-bao-nhieu-cap-so-nguyen-thoa-man/49372
Điều kiện: $y>0.$
Ta có $\text{BPT}\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}+y}{y}\le {{\log }_{6}}\dfrac{2{{x}^{2}}+2{{y}^{2}}+8y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}$
$\Leftrightarrow {{\log }_{3}}\left( \dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}+1 \right)\le {{\log }_{6}}\left( \dfrac{8y}{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}+2 \right).$
Đặt $t=\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y},\left( t>0 \right)$ bất phương trình trở thành: $g\left( t \right)={{\log }_{3}}\left( t+1 \right)-{{\log }_{6}}\left( \dfrac{8}{t}+2 \right)\le 0\text{ }\left( * \right).$
Ta có ${g}'\left( t \right)=\dfrac{1}{\left( t+1 \right)\ln 3}+\dfrac{8}{{{t}^{2}}\left( \dfrac{8}{t}+2 \right)\ln 6}>0,\forall t>0$ và $g\left( 2 \right)=0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow g\left( t \right)\le g\left( 2 \right)\Leftrightarrow t\le 2.$
Vậy $0<t\le 2\Leftrightarrow 0<\dfrac{{{x}^{2}}+{{y}^{2}}}{y}\le 2\Leftrightarrow y>0$ và ${{x}^{2}}+{{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1$
$\Rightarrow {{\left( y-1 \right)}^{2}}\le 1\Rightarrow 0\le y\le 2\Rightarrow y\in \left\{ 1,2 \right\}$
$\Rightarrow \left( x;y \right)=\left( 0;1 \right);\left( 0;2 \right);\left( 1;1 \right);\left( -1;1 \right).$ Chọn đáp án A.
Các em xem lại Bài giảng Biến đổi mũ và logarit nâng cao trong khoá VDC XMAX.