linhlinh060355
[164379]
25/12/2022 8:49:33 PM
Dạ thầy và mng ơi cho e hỏi câu này với ạ. E cảm ơn nhiều ạ
Câu hỏi: Xét hai số thực dương $x,y$ thoả mãn $\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}=\left( xy-1 \right){{2}^{2xy-1}}.$ Giá trị nhỏ nhất của $y$ bằng
https://askmath.vn/cau-hoi/xet-hai-so-thuc-duong-thoa-man-gia-tri-nho-nhat-cua-bang/e3089488-3a9e-41c3-97e9-291f617aa83e
A. $3.$
B. $2.$
C. $\sqrt{3}.$
D. $1.$
Giải. Ta có $\left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}=\left( xy-1 \right){{2}^{2xy-1}}\Leftrightarrow \left( {{x}^{2}}+y \right){{2}^{{{x}^{2}}+y}}=\left( 2xy-2 \right){{2}^{2xy-2}}\left( * \right)$
Vì $VT>0,\forall x,y>0\Rightarrow VP>0\Rightarrow 2xy-2>0$
Khi đó xét hàm số $f\left( a \right)=a{{.2}^{a}}\Rightarrow {f}'\left( a \right)={{2}^{a}}+a{{.2}^{a}}\ln 2>0,\forall a>0\Rightarrow \left( * \right)\Leftrightarrow f\left( {{x}^{2}}+y \right)=f\left( 2xy-2 \right)\Leftrightarrow {{x}^{2}}+y=2xy-2$
Rút ra $y\left( 2x-1 \right)={{x}^{2}}+2\Leftrightarrow y=g\left( x \right)=\dfrac{{{x}^{2}}+2}{2x-1}>0\Rightarrow x>\dfrac{1}{2}\Rightarrow y\ge \underset{\left( \dfrac{1}{2};+\infty \right)}{\mathop{\min }}\,g\left( x \right)=g\left( 2 \right)=2.$Chọn đáp án B.