Cặp số nguyên thoả mãn đẳng thức mũ và logarit
Câu trả lời của bạn
Để bình luận, bạn cần đăng nhập bằng tài khoản Vted.
Đăng nhậpKhông phải câu trả lời hoặc câu hỏi bạn đang tìm kiếm? Hỏi câu hỏi của riêng bạn.
Có ${{\log }_{2}}{{x}^{x}}+x\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2\Leftrightarrow x{{\log }_{2}}x+x\left( {{2}^{y}}+y-1 \right)=2.$ Đặt \[t={{\log }_{2}}x\Leftrightarrow x={{2}^{t}}.\] Khi đó
\[\begin{gathered} {2^t}t + {2^t}\left( {{2^y} + y - 1} \right) = 2 \Leftrightarrow t + {2^y} + y - 1 = {2^{1 - t}} \Leftrightarrow {2^y} + y = {2^{1 - t}} + (1 - t) \hfill \\ \Leftrightarrow y = 1 - t \Leftrightarrow y = 1 - {\log _2}x \Leftrightarrow {\log _2}x = 1 - y \Leftrightarrow x = {2^{1 - y}}. \hfill \\ \end{gathered} \]
Vì \[1\le x\le 2020\Leftrightarrow 1\le {{2}^{1-y}}\le 2020\Leftrightarrow 0\le 1-y\le {{\log }_{2}}2020\Leftrightarrow 1-{{\log }_{2}}2020\le y\le 1.\]
Khi đó \[y\in \left\{ -9,...,1 \right\};x={{2}^{1-y}}\Rightarrow 11\times 1=11\] cặp số nguyên thoả mãn. Chọn đáp án D.