dongtran19072002
[27247]
10/06/2020 7:23:51 PM
Bn nào chi tiết câu này giúp tui với
Có ${{\log }_{{{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+1}}\left( 2a-8b \right)=1\Leftrightarrow 2a-8b={{a}^{2}}+4{{b}^{2}}+1\Leftrightarrow {{\left( a-1 \right)}^{2}}+{{\left( 2b+2 \right)}^{2}}=4.$
Khi đó biến đổi:
$\begin{gathered} P = \frac{{4b + 2}}{{a + 2b + 5}} \Leftrightarrow P(a + 2b + 5) = 4b + 2 \Leftrightarrow aP + 2b(P - 2) = 2 - 5P \hfill \\ \Leftrightarrow (a - 1)P + (2b + 2)(P - 2) = 2 - 5P - P + 2(P - 2) \hfill \\ \Leftrightarrow (a - 1)P + (2b + 2)(P - 2) = - 4P - 2. \hfill \\ \end{gathered} $
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz có
$\begin{gathered} {\left( { - 4P - 2} \right)^2} = {\left( {(a - 1)P + (2b + 2)(P - 2)} \right)^2} \leqslant \left( {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {2b + 2} \right)}^2}} \right)\left( {{P^2} + {{\left( {P - 2} \right)}^2}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( { - 4P - 2} \right)^2} \leqslant 4\left( {{P^2} + {{\left( {P - 2} \right)}^2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{ - 4 - \sqrt {22} }}{2} \leqslant P \leqslant \frac{{ - 4 + \sqrt {22} }}{2}. \hfill \\ \end{gathered} $