Một nhà sản xuất muốn thiết kế một hộp đựng kẹo dạng hình...

Một nhà sản xuất muốn thiết kế một hộp đựng kẹo dạng hình tròn xoay gồm hai phần: Phần thứ nhất được tạo thành khi quay nửa hình elip quanh một trục; phần thứ hai là nửa hình cầu có bán kính bằng $4.$ Nếu xét trong hệ trục tọa độ $Oxy,$ đơn vị trên mỗi trục là $\text{cm}$ thì nửa hình elip quay quanh trục $Ox$ để tạo thành phần thứ nhất có phương trình $\dfrac{x^2}{64}+\dfrac{y^2}{16}=1$ với $-8 \leq x \leq 0$ (hình vẽ).

a) Thể tích của phần không gian chứa trong phần thứ hai là $\dfrac{32}{3}\pi \text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$

b) Nửa elip phía trên trục hoành mô tả phần thứ nhất là đồ thị của hàm số $y=\sqrt{16-\dfrac{x^2}{4}},-8 \leq x \leq 0.$

c) Thể tích của phần không gian chứa trong phần thứ nhất là $V=\pi \int\limits_{-8}^{0}{\sqrt{16-\dfrac{{{x}^{2}}}{4}}dx}\text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$

d) Thể tích phần không gian bên trong hộp đựng kẹo cần thiết kế là $128\pi \text{ c}{{\text{m}}^{3}}.$